Estudio de continuidad y derivabilidad de una función a trozos

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.** Primero, analizamos el dominio de la función. La función está definida para todo $\mathbb{R}$. Estudiamos la continuidad en cada tramo: 1. En el intervalo $(-\infty, 0]$, la función es $f(x) = \frac{1}{x-4}$. Es una función racional cuyo denominador se anula en $x=4$. Como $4$ no pertenece a este intervalo, la función es **continua** en $(-\infty, 0)$. 2. En el intervalo $(0, 2)$, la función es $f(x) = x+3$, que es una función polinómica y, por tanto, **continua** en todo su intervalo. 3. En el intervalo $(2, +\infty)$, la función es $f(x) = x^2+1$, que también es una función polinómica y **continua**. 💡 **Tip:** Una función racional solo presenta problemas de continuidad donde el denominador es cero. Si ese valor está fuera del intervalo de definición de la rama, no afecta a la continuidad.

Para que la función sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$. - Valor de la función: $f(0) = \frac{1}{0-4} = -\frac{1}{4}$. - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x-4} = -\frac{1}{4}$. - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} (x+3) = 0+3 = 3$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$, existe una **discontinuidad de salto finito** en $x=0$. El tamaño del salto es $|3 - (-1/4)| = 3.25$. ✅ **Resultado parcial:** En $x=0$ hay una **discontinuidad de salto finito**.

Estudiamos ahora el punto $x=2$: - Valor de la función: $f(2) = 2^2+1 = 5$. - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} (x+3) = 2+3 = 5$. - Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} (x^2+1) = 2^2+1 = 5$. Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$, la función es **continua en $x=2$**. 💡 **Tip:** Para que haya continuidad, los "extremos" de las ramas deben encajar en el mismo valor. ✅ **Conclusión apartado a):** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x=0 \text{ presenta una discontinuidad de salto finito.}}$$

**b) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función en su dominio.** Para estudiar la derivabilidad, primero recordamos que una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea continua en dicho punto. En el paso anterior determinamos que la función **no es continua en $x=0$**. Por lo tanto, automáticamente podemos afirmar que **$f(x)$ no es derivable en $x=0$**. 💡 **Tip:** Si una función es discontinua, nunca podrá tener derivada en ese punto (la gráfica tiene un "roto").

Como la función es continua en $x=2$, procedemos a calcular las derivadas laterales. Primero hallamos la función derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{(x - 4)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ 1 & \text{si } 0 \lt x \lt 2 \\ 2x & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x=2$: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = 2(2) = 4$. Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$ ($1 \neq 4$), la función **no es derivable en $x=2$**. Gráficamente, esto significa que hay un "punto anguloso". 💡 **Tip:** La derivada de $\frac{1}{u}$ es $-\frac{u'}{u^2}$. Aquí $u = x-4$, por lo que $u'=1$.

La función es derivable en todos los puntos de su dominio excepto en aquellos donde no es continua o donde las derivadas laterales no coinciden. En los intervalos $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ y $(2, +\infty)$ la función es derivable por ser composición de funciones elementales derivables. ✅ **Conclusión apartado b):** $$\boxed{\text{f(x) es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}$$ A continuación se muestra la representación gráfica de la función: