Probabilidad de exámenes teórico y práctico

En primer lugar, definimos los sucesos del problema: - $T$: "El alumno aprueba el examen teórico". - $P$: "El alumno aprueba el examen práctico". Del enunciado extraemos los siguientes datos en términos de probabilidad: - Aprueba los dos exámenes: $P(T \cap P) = 0.50$ - No aprueba ninguno: $P(T^c \cap P^c) = 0.06$ - Solo aprueba el teórico: $P(T \cap P^c) = 0.20$ Para visualizar mejor la situación, podemos construir una **tabla de contingencia**. Primero, calculamos $P(T)$ sumando los que aprueban ambos y los que solo aprueban el teórico: $$P(T) = P(T \cap P) + P(T \cap P^c) = 0.50 + 0.20 = 0.70$$ A partir de aquí, completamos el resto de la tabla sabiendo que los totales deben sumar $1$: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Aprueba P} (P) & \text{No aprueba P} (P^c) & \text{Total} \\\hline \text{Aprueba T} (T) & 0.50 & 0.20 & 0.70 \\ \text{No aprueba T} (T^c) & 0.24 & 0.06 & 0.30 \\\hline \text{Total} & 0.74 & 0.26 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas donde se cruzan dos características (como aprobar o no dos exámenes distintos), la tabla de contingencia es la herramienta más clara para obtener todas las probabilidades intersección.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?** El suceso "aprobar al menos uno" es la unión de ambos sucesos, $T \cup P$. Existen dos formas de calcularlo: **Método 1: Por el suceso contrario** La probabilidad de aprobar al menos uno es el complementario de no aprobar ninguno: $$P(T \cup P) = 1 - P(T^c \cap P^c)$$ Sustituyendo el dato del enunciado: $$P(T \cup P) = 1 - 0.06 = 0.94$$ **Método 2: Usando la fórmula de la unión** $$P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$$ Usando los valores de nuestra tabla: $$P(T \cup P) = 0.70 + 0.74 - 0.50 = 0.94$$ 💡 **Tip:** La expresión "al menos uno" casi siempre se resuelve de forma más rápida calculando $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup P) = 0.94}$$

**b) (1.5 puntos) Si ha aprobado el teórico, ¿cuál es la probabilidad de que no apruebe el examen práctico?** Se nos pide una probabilidad condicionada. Sabemos que el alumno ha aprobado el teórico ($T$), y queremos saber la probabilidad de que no apruebe el práctico ($P^c$). Esto se expresa como $P(P^c | T)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(P^c | T) = \frac{P(P^c \cap T)}{P(T)}$$ Consultamos los valores en nuestra tabla o en los datos iniciales: - $P(P^c \cap T) = 0.20$ (solo aprobó el teórico) - $P(T) = 0.70$ (total de aprobados en el teórico) Sustituimos y simplificamos: $$P(P^c | T) = \frac{0.20}{0.70} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad condicionada es $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que "ya ha ocurrido" (la condición) siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P^c | T) = \frac{2}{7} \approx 0.2857}$$