Intervalo de confianza para la media

**a) (1.25 puntos) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (peso de los paquetes en gramos): - Distribución: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 0.3)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.3$ - Tamaño de la muestra: $n = 9$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$ (98%) Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 98%: 1. Si $1 - \alpha = 0.98$, entonces $\alpha = 0.02$. 2. Repartimos el nivel de significación en dos colas: $\alpha/2 = 0.01$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.99$, el valor más cercano es: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para niveles de confianza habituales, los valores de $z_{\alpha/2}$ son: 90% (1.645), 95% (1.96) y 99% (2.575). Para el 98%, el valor estándar suele ser 2.33 o 2.326.

La amplitud de un intervalo de confianza es la diferencia entre el extremo superior y el inferior. Matemáticamente, equivale al doble del error máximo admisible ($A = 2E$). Calculamos primero el error ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.33 \cdot \frac{0.3}{\sqrt{9}} = 2.33 \cdot \frac{0.3}{3} = 2.33 \cdot 0.1 = 0.233$$ Ahora calculamos la amplitud ($A$): $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot 0.233 = 0.466$$ 💡 **Tip:** El error es el radio del intervalo, mientras que la amplitud es el diámetro (el ancho total). ✅ **Resultado (amplitud):** $$\boxed{A = 0.466\text{ g}}$$

**b) (1.25 puntos) Obtenga el intervalo sabiendo que los pesos, en gramos, de los paquetes son: 10, 9.9, 10.04, 9.5, 10.1, 9.8, 10.2, 10, 10.3** Para construir el intervalo de confianza, necesitamos conocer la media de la muestra ($\bar{x}$). Sumamos todos los valores proporcionados y dividimos entre el total de elementos ($n=9$): $$\bar{x} = \frac{10 + 9.9 + 10.04 + 9.5 + 10.1 + 9.8 + 10.2 + 10 + 10.3}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{89.84}{9} \approx 9.9822$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de sumar con precisión todos los decimales para no arrastrar errores al intervalo final.

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ se define como: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Utilizando los valores obtenidos en los pasos anteriores: - Media muestral: $\bar{x} = 9.9822$ - Error máximo: $E = 0.233$ Sustituimos: $$I.C. = (9.9822 - 0.233, \quad 9.9822 + 0.233)$$ $$I.C. = (9.7492, \quad 10.2152)$$ ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{I.C. = (9.7492, 10.2152)}$$