Operaciones y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: $A \cdot D + B \cdot C$ y $D^t \cdot B - A^2$** Para que una operación entre matrices sea posible, deben cumplirse ciertas condiciones en sus dimensiones. Analizamos primero la operación $A \cdot D + B \cdot C$: 1. **Producto $A \cdot D$**: La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 2$ y $D$ es de $2 \times 3$. Como el número de columnas de $A$ (2) coincide con el de filas de $D$ (2), el producto es posible y la matriz resultante será de dimensión **$2 \times 3$**. 2. **Producto $B \cdot C$**: La matriz $B$ es de dimensión $2 \times 2$ y $C$ es de $2 \times 2$. El producto es posible y el resultado es una matriz **$2 \times 2$**. 3. **Suma**: Para sumar dos matrices, estas deben tener la **misma dimensión**. Como intentamos sumar una matriz $2 \times 3$ con una $2 \times 2$, la operación **no se puede realizar**. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{m\times n} \cdot N_{n\times p}$, el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda. Para sumar, las dimensiones deben ser idénticas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot D + B \cdot C \text{ no se puede efectuar}}$$

Analizamos ahora la operación $D^t \cdot B - A^2$: 1. **Producto $D^t \cdot B$**: La traspuesta de $D$, $D^t$, cambia filas por columnas, por lo que su dimensión es $3 \times 2$. La matriz $B$ es $2 \times 2$. El producto es posible (columnas de $D^t$ = filas de $B$) y el resultado es una matriz **$3 \times 2$**. 2. **Potencia $A^2$**: Como $A$ es una matriz cuadrada ($2 \times 2$), se puede multiplicar por sí misma, resultando en una matriz **$2 \times 2$**. 3. **Resta**: Al igual que en la suma, las matrices deben tener la misma dimensión. No podemos restar una matriz $2 \times 2$ a una matriz $3 \times 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D^t \cdot B - A^2 \text{ no se puede efectuar}}$$

**b) (1.5 puntos) Halle la matriz $X$ que verifica la ecuación matricial $A \cdot X = B - C$.** Primero, calculamos la matriz resultante de la operación $B - C$: $$B - C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & -1 - 4 \\ 2 - 1 & 0 - (-1) \end{pmatrix}$$ $$B - C = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz $M$, de modo que la ecuación es $A \cdot X = M$. 💡 **Tip:** En las restas de matrices, simplemente restamos los elementos que ocupan la misma posición.

Para despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X = M$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$, es decir, $A^{-1}$, siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot M \implies I \cdot X = A^{-1} \cdot M \implies X = A^{-1} \cdot M$$ Comprobamos si $A$ tiene inversa calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (2) \cdot (-1) - (1) \cdot (0) = -2$$ Como $|A| = -2 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible** y podemos continuar. 💡 **Tip:** Es fundamental multiplicar por $A^{-1}$ por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad. Como $A$ está a la izquierda de $X$, multiplicamos por la izquierda.

Calculamos la matriz inversa usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t$. 1. **Matriz de adjuntos $Adj(A)$**: - $Adj(a_{11}) = +(-1) = -1$ - $Adj(a_{12}) = -(0) = 0$ - $Adj(a_{21}) = -(1) = -1$ - $Adj(a_{22}) = +(2) = 2$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. **Traspuesta de la adjunta $Adj(A)^t$**: $$Adj(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa**: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot (B - C)$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $\left(\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ - Fila 1: $\left(\frac{1}{2} \cdot (-5) + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$ - Fila 2: $(0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1) = -1$ - Fila 2: $(0 \cdot (-5) + (-1) \cdot 1) = -1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$