Estudio de monotonía, extremos y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y encontrar los extremos relativos, el primer paso es calcular la derivada de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$. Calculamos $f'(x)$ aplicando las reglas de derivación básicas: $$f'(x) = 3x^2 - 12$$ A continuación, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 12 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. El dominio de esta función es $\mathbb{R}$ por ser un polinomio, así que no hay puntos de discontinuidad que considerar. $$\boxed{f'(x) = 3x^2 - 12; \quad x = -2, x = 2}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, evaluamos el signo de $f'(x) = 3x^2 - 12$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $(-2$ y $2)$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$: Tomamos $x = -3 \implies f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 27 - 12 = 15 > 0$ (**Creciente**). - En $(-2, 2)$: Tomamos $x = 0 \implies f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0$ (**Decreciente**). - En $(2, +\infty)$: Tomamos $x = 3 \implies f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 15 > 0$ (**Creciente**). 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$, la función crece. Si $f'(x) \lt 0$, la función decrece. ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, -2) \cup (2, +\infty); \quad \text{Decreciente en } (-2, 2)}$$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada, clasificamos los extremos: 1. En **$x = -2$**, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **Máximo Relativo**. 2. En **$x = 2$**, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **Mínimo Relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f(x)$: - $f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17 \implies \mathbf{M(-2, 17)}$ - $f(2) = (2)^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \implies \mathbf{m(2, -15)}$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, 17) \text{ y Mínimo relativo en } (2, -15)}$$

**b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la recta tangente necesitamos un punto $(a, f(a))$ y la pendiente $m = f'(a)$. 1. **Punto de tangencia:** Sustituimos $x = 1$ en la función original: $$f(1) = 1^3 - 12(1) + 1 = 1 - 12 + 1 = -10$$ El punto es **$(1, -10)$**. 2. **Pendiente de la recta tangente:** Sustituimos $x = 1$ en la derivada calculada anteriormente: $$m = f'(1) = 3(1)^2 - 12 = 3 - 12 = -9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor de la derivada en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto. $$\boxed{Punto: (1, -10); \quad m = -9}$$

Utilizamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituimos los valores hallados ($a=1$, $f(a)=-10$, $f'(a)=-9$): $$y - (-10) = -9(x - 1)$$ $$y + 10 = -9x + 9$$ Despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = -9x + 9 - 10$$ $$y = -9x - 1$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{y = -9x - 1}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^3-12x+1", "color": "#2563eb" }, { "id": "tangente", "latex": "y=-9x-1", "color": "#ef4444" }, { "id": "punto", "latex": "(1,-10)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "P(1, -10)" }, { "id": "max", "latex": "(-2,17)", "color": "#16a34a", "showLabel": true }, { "id": "min", "latex": "(2,-15)", "color": "#16a34a", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -6, "right": 6, "bottom": -25, "top": 25 } } }