Estimación de la proporción de establecimientos

**a) (1.6 puntos) Con un nivel de confianza del 92 %, obtenga el intervalo de confianza para la proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12 €.** Primero, identificamos los datos del problema: - Tamaño de la muestra ($n$): $120$ - Número de establecimientos con precio $\le 12$ € ($x$): $80$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ Consecuentemente, la proporción complementaria $\hat{q}$ es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.6667 = 0.3333$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, trabajamos con la distribución muestral de proporciones, que se aproxima a una normal $N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)$ si $n$ es suficientemente grande. $$\boxed{\hat{p} \approx 0.6667, \quad \hat{q} \approx 0.3333}$$

Para un nivel de confianza del $92 \%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 1 - 0.92 = 0.08$$ Dividimos el nivel de significación entre dos para las dos colas de la distribución: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.08}{2} = 0.04$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.75) = 0.9599 \approx 0.96$$ Por lo tanto, el valor crítico es: $$z_{\alpha/2} = 1.75$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal. Aquí $0.9599$ es extremadamente cercano a $0.96$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

El error de estimación $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.6667 \cdot 0.3333}{120}} = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.2222}{120}} = 1.75 \cdot \sqrt{0.0018518} \approx 1.75 \cdot 0.04303 \approx 0.0753$$ El intervalo de confianza es $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.6667 - 0.0753, \quad 0.6667 + 0.0753)$$ $$I.C. = (0.5914, \quad 0.7420)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.5914, \quad 0.7420)}$$

**b) (0.4 puntos) Si aumentamos el nivel de confianza al 99 %, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?** El error de estimación está definido por $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Al aumentar el nivel de confianza del $92 \%$ al $99 \%$: 1. El valor de $1-\alpha$ aumenta. 2. Por tanto, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumenta (pasa de $1.75$ a $2.575$). 3. Como $z_{\alpha/2}$ es directamente proporcional al error, el **error de estimación aumenta**. 💡 **Tip:** A mayor seguridad (confianza) queramos tener en que el parámetro real esté en el intervalo, más amplio (mayor error) debe ser este. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El error de estimación aumenta.}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error de la estimación no sea superior a 0.04?** Datos para este apartado: - $NC = 99 \% \implies 1 - \alpha = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.575$ (valor estándar para 99%) - $E \le 0.04$ - Usamos la misma proporción muestral: $\hat{p} = 2/3, \hat{q} = 1/3$ Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos: $$n = \frac{(2.575)^2 \cdot (0.6667) \cdot (0.3333)}{(0.04)^2}$$ $$n = \frac{6.630625 \cdot 0.222222}{0.0016} \approx \frac{1.47347}{0.0016} \approx 920.92$$ Como el número de establecimientos debe ser un número entero y el error no debe superar $0.04$, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 921 \text{ establecimientos}}$$