Parámetros de una función y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ presente un extremo relativo en el punto $(2, 6)$.** Para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(2, 6)$, se deben cumplir dos condiciones matemáticas fundamentales: 1. **Condición de paso:** El punto $(2, 6)$ pertenece a la gráfica de la función, por lo que $f(2) = 6$. 2. **Condición de extremo relativo:** En un extremo relativo (máximo o mínimo), la derivada de la función debe ser igual a cero. Por tanto, $f'(2) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un enunciado dice "extremo en $(x_0, y_0)$", tienes dos datos: $f(x_0) = y_0$ (el punto está en la curva) y $f'(x_0) = 0$ (la pendiente es nula).

Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + b$: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax$$ Ahora, aplicamos la condición de extremo relativo en $x = 2$, es decir, $f'(2) = 0$: $$f'(2) = 3(2)^2 + 2a(2) = 0$$ $$3(4) + 4a = 0$$ $$12 + 4a = 0$$ Despejamos el parámetro $a$: $$4a = -12 \implies a = \frac{-12}{4} = -3$$ $$\boxed{a = -3}$$

Una vez obtenido $a = -3$, la función es $f(x) = x^3 - 3x^2 + b$. Aplicamos la condición de que la gráfica pasa por el punto $(2, 6)$, es decir, $f(2) = 6$: $$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + b = 6$$ $$8 - 3(4) + b = 6$$ $$8 - 12 + b = 6$$ $$-4 + b = 6$$ Despejamos el parámetro $b$: $$b = 6 + 4 = 10$$ $$\boxed{b = 10}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** Los valores son **$a = -3$** y **$b = 10$**.

**b) (1 punto) Para $a = 1$ y $b = 1$, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa $x = 1$.** Sustituimos los valores de los parámetros en la función original: $$f(x) = x^3 + 1x^2 + 1 = x^3 + x^2 + 1$$ La ecuación de la recta tangente en un punto $x_0 = 1$ viene dada por la fórmula: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Necesitamos calcular dos valores: 1. La ordenada del punto: $f(1)$. 2. La pendiente de la tangente: $f'(1)$. 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es siempre el valor de su derivada en dicho punto.

Calculamos la imagen de la función en $x = 1$: $$f(1) = (1)^3 + (1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$$ Calculamos la derivada de la nueva función: $$f'(x) = 3x^2 + 2x$$ Calculamos la pendiente evaluando la derivada en $x = 1$: $$m = f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$$ Ya tenemos los datos necesarios: - Punto de tangencia: $(1, 3)$ - Pendiente: $m = 5$

Sustituimos los valores en la ecuación punto-pendiente: $$y - 3 = 5(x - 1)$$ Desarrollamos la expresión para obtener la ecuación explícita: $$y - 3 = 5x - 5$$ $$y = 5x - 5 + 3$$ $$y = 5x - 2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y = 5x - 2}$$