Probabilidades en urgencias: problemas respiratorios y tabaquismo

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en el enunciado: - $R$: La persona acude por problemas respiratorios. - $\bar{R}$: La persona acude por otros problemas (no respiratorios). - $F$: La persona es fumadora. - $\bar{F}$: La persona no es fumadora. Extraemos los datos proporcionados: - $P(R) = 0.10 \implies P(\bar{R}) = 1 - 0.10 = 0.90$ - $P(F|R) = 0.80 \implies P(\bar{F}|R) = 1 - 0.80 = 0.20$ - $P(F|\bar{R}) = 0.05 \implies P(\bar{F}|\bar{R}) = 1 - 0.05 = 0.95$ Representamos esta información en un diagrama de árbol para visualizar mejor los caminos:

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas respiratorios y no sea fumador?** Nos piden la probabilidad de la intersección de acudir por problemas respiratorios ($R$) y no ser fumador ($\bar{F}$). Esto corresponde a la rama superior-inferior de nuestro árbol: $$P(R \cap \bar{F}) = P(R) \cdot P(\bar{F}|R)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(R \cap \bar{F}) = 0.10 \cdot 0.20 = 0.02$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de una intersección $P(A \cap B)$ se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la probabilidad condicionada del segundo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R \cap \bar{F}) = 0.02}$$

**b) (1.5 puntos) Si la persona elegida es fumadora, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas que no son respiratorios?** Estamos ante una probabilidad condicionada. Queremos calcular $P(\bar{R}|F)$. Para ello, primero necesitamos saber la probabilidad total de que una persona sea fumadora, $P(F)$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando los dos caminos que terminan en "Fumador": $$P(F) = P(R) \cdot P(F|R) + P(\bar{R}) \cdot P(F|\bar{R})$$ $$P(F) = (0.10 \cdot 0.80) + (0.90 \cdot 0.05)$$ $$P(F) = 0.08 + 0.045 = 0.125$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser fumador) puede ocurrir a través de varios escenarios disjuntos (venir por problemas respiratorios o por otros).

Ahora que conocemos $P(F)$, aplicamos la definición de probabilidad condicionada (o **Teorema de Bayes**) para hallar la probabilidad de que no tenga problemas respiratorios sabiendo que es fumador: $$P(\bar{R}|F) = \frac{P(\bar{R} \cap F)}{P(F)}$$ Calculamos el numerador: $$P(\bar{R} \cap F) = P(\bar{R}) \cdot P(F|\bar{R}) = 0.90 \cdot 0.05 = 0.045$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{R}|F) = \frac{0.045}{0.125} = 0.36$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición: pasar de conocer $P(F|\bar{R})$ a calcular $P(\bar{R}|F)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{R}|F) = 0.36}$$