Distribución de la media muestral e Inferencia Estadística

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el precio del producto, la cual sigue una distribución Normal de media $\mu$ (desconocida) y desviación típica $\sigma = 5$: $$X \sim N(\mu, 5)$$ Para muestras de tamaño $n = 10$, la teoría estadística nos indica que la media muestral $\bar{X}$ sigue también una distribución Normal con la misma media poblacional y una desviación típica (error típico) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \approx \frac{5}{3.1623} \approx 1.5811$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una población es $N(\mu, \sigma)$, entonces la distribución de las medias de muestras de tamaño $n$ es $\bar{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$. Por tanto, la distribución es: $$\boxed{\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{5}{\sqrt{10}}\right) \approx N(\mu, 1.5811)}$$

**b) (1 punto) Determine un intervalo de confianza, al 97 %, para la media poblacional.** Primero, calculamos la media aritmética de los valores observados en los 10 comercios: $$\bar{x} = \frac{96 + 108 + 97 + 112 + 99 + 106 + 105 + 100 + 98 + 99}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{1020}{10} = 102 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de intervalos de confianza, siempre necesitamos el valor puntual de la media de la muestra si nos dan los datos brutos. $$\boxed{\bar{x} = 102}$$

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor $0.985$ en el interior de la tabla: - Para $0.985$, el valor de $z$ es exacto. $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si el valor no es exacto en la tabla, toma el más cercano o haz la media aritmética de los dos más próximos. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{5}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot 1.5811 = 3.4310$$ Sustituimos en el intervalo: $$IC = (102 - 3.4310, 102 + 3.4310) = (98.569, 105.431)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (98.569, 105.431)}$$

**c) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el error cometido sea menor que 2?** Mantenemos el nivel de confianza del $97\%$, por lo que $z_{\alpha/2} = 2.17$. Queremos que el error sea menor que 2: $$E \lt 2 \implies z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$2.17 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \lt 2$$ $$\frac{10.85}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Despejamos $n$: $$\frac{10.85}{2} \lt \sqrt{n} \implies 5.425 \lt \sqrt{n}$$ $$n \gt (5.425)^2 = 29.4306$$ Para que el error sea estrictamente menor que 2, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea menor al propuesto. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 30}$$