Potencias de matrices e identidades matriciales

**a) (1 punto) Calcule la matriz $A^{2017}$.** Para calcular una potencia elevada de una matriz, el primer paso es calcular las primeras potencias ($A^2, A^3, ...$) para intentar encontrar un patrón o regla de repetición. Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1 + 2 \cdot 0) & (1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)) \\ (0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0) & (0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. 💡 **Tip:** Cuando una matriz al cuadrado da la identidad ($A^2 = I$), se dice que la matriz es involutiva. Esto simplifica mucho el cálculo de potencias impares.

A partir del resultado anterior, podemos deducir el comportamiento de las potencias superiores: - $A^1 = A$ - $A^2 = I$ - $A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$ - $A^4 = A^3 \cdot A = A \cdot A = A^2 = I$ En general, podemos concluir que: - Si el exponente $n$ es **par**, $A^n = I$. - Si el exponente $n$ es **impar**, $A^n = A$. Como el exponente solicitado es $2017$, que es un número **impar**, tenemos: $$A^{2017} = A$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2017} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) ¿Se verifica la expresión $(B + A) \cdot (B - A) = B^2 - A^2$?** En álgebra matricial, debemos tener cuidado porque el producto de matrices **no es conmutativo** en general (es decir, $AB \neq BA$). Desarrollemos el primer miembro de la igualdad aplicando la propiedad distributiva: $$(B + A) \cdot (B - A) = B \cdot (B - A) + A \cdot (B - A)$$ $$(B + A) \cdot (B - A) = B^2 - B \cdot A + A \cdot B - A^2$$ Para que esta expresión sea igual a $B^2 - A^2$, los términos centrales deben anularse, es decir: $$-BA + AB = 0 \implies AB = BA$$ Por tanto, la igualdad se cumplirá **si y solo si las matrices A y B conmutan**. 💡 **Tip:** Nunca asumas que $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ en matrices a menos que sepas que son conmutativas.

Calculamos ambos productos para ver si son iguales. **Producto $A \cdot B$:** $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot 0 & 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 \\ 0\cdot 3 + (-1)\cdot 0 & 0\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ **Producto $B \cdot A$:** $$BA = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 + (-1)\cdot 0 & 3\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) \\ 0\cdot 1 + 2\cdot 0 & 0\cdot 2 + 2\cdot (-1) \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$

Comparamos los resultados obtenidos: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \neq BA = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Como $AB \neq BA$, la expresión central $-BA + AB$ no es cero: $$-BA + AB = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Por tanto, la igualdad no se verifica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se verifica la expresión porque } AB \neq BA}$$