Análisis de la ocupación hotelera

**a) (0.5 puntos) ¿Evoluciona la función $f$ de forma continua?** Para que la función evolucione de forma continua, debemos comprobar que es continua en todo su dominio. Al ser una función definida a trozos, los puntos críticos son el punto de salto entre ramas ($t = 6$) y los posibles valores que anulen denominadores. 1. **En el intervalo $[0, 6]$:** La función es un polinomio (de segundo grado), por lo que es continua en este intervalo. 2. **En el intervalo $(6, +\infty)$:** La función es racional. El denominador $t + 4$ se anula en $t = -4$, pero como este valor no pertenece al intervalo $(6, +\infty)$, la función es continua en este tramo. 3. **En el punto de salto $t = 6$:** Calculamos la imagen y los límites laterales: - Imagen: $f(6) = -\frac{5}{2}(6)^2 + 20(6) = -\frac{5}{2}(36) + 120 = -90 + 120 = 30$. - Límite por la izquierda: $\lim_{t \to 6^-} f(t) = \lim_{t \to 6^-} \left( -\frac{5}{2}t^2 + 20t \right) = 30$. - Límite por la derecha: $\lim_{t \to 6^+} f(t) = \lim_{t \to 6^+} \frac{90t - 240}{t+4} = \frac{90(6) - 240}{6+4} = \frac{540 - 240}{10} = \frac{300}{10} = 30$. Como $f(6) = \lim_{t \to 6^-} f(t) = \lim_{t \to 6^+} f(t) = 30$, la función es continua en $t = 6$. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua si las ramas "coinciden" en los puntos donde cambia la definición y si cada rama es continua en su intervalo correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(t) \text{ es continua en todo su dominio } [0, +\infty)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año?** El tiempo $t$ está medido en meses. Al finalizar el segundo año, habrán transcurrido: $$t = 2 \text{ años} \cdot 12 \text{ meses/año} = 24 \text{ meses}.$$ Como $t = 24 > 6$, debemos utilizar la segunda rama de la función: $$f(24) = \frac{90(24) - 240}{24+4}$$ Realizamos las operaciones: $$f(24) = \frac{2160 - 240}{28} = \frac{1920}{28} \approx 68.57$$ 💡 **Tip:** Lee siempre con atención las unidades. Aquí $t$ es en meses, por lo que no podemos sustituir directamente el número 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El porcentaje de ocupación será del } 68.57 \%}$$

**c) (1 punto) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40 %?** Debemos resolver la ecuación $f(t) = 40$ para cada una de las ramas de la función. **Rama 1 ($0 \le t \le 6$):** $$-\frac{5}{2}t^2 + 20t = 40$$ Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción: $$-5t^2 + 40t = 80 \implies -5t^2 + 40t - 80 = 0$$ Dividimos entre $-5$: $$t^2 - 8t + 16 = 0$$ Esta es una identidad notable $(t-4)^2 = 0$, cuya solución es: $$t = 4$$ Como $t=4$ está en el intervalo $[0, 6]$, es una solución válida.

**Rama 2 ($t > 6$):** $$\frac{90t - 240}{t+4} = 40$$ Pasamos el denominador multiplicando: $$90t - 240 = 40(t+4) \implies 90t - 240 = 40t + 160$$ Agrupamos términos con $t$: $$90t - 40t = 160 + 240 \implies 50t = 400$$ $$t = \frac{400}{50} = 8$$ Como $t=8$ es mayor que 6, es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ocupación será del 40 \% a los 4 meses y a los 8 meses de la inauguración.}}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?** Estar "completo" significa que el porcentaje de ocupación $f(t)$ llega al $100 \%$. Debemos estudiar el comportamiento de la función cuando el tiempo crece indefinidamente, es decir, el límite cuando $t \to +\infty$. Usamos la segunda rama: $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{90t - 240}{t+4}$$ Al ser un límite al infinito de una función racional de igual grado en numerador y denominador, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{90t - 240}{t+4} = \frac{90}{1} = 90$$ Esto significa que la ocupación tiende a estabilizarse en el $90 \%$, pero nunca alcanzará el $100 \%$. 💡 **Tip:** Si el límite en el infinito es menor que 100, la función nunca alcanzará el valor de saturación total si la función es creciente hacia esa asíntota. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, nunca llegará a estar completo, ya que la ocupación máxima tiende al } 90 \%}$$