Probabilidad: Redes sociales y estudios

Para resolver el problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información proporcionada en el enunciado. Definimos los sucesos: - $S$: El alumno está interesado por las redes sociales. - $N$: El alumno está interesado por sus notas. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(S) = 90\% = 0.90$ - $P(N) = 60\% = 0.60$ - $P(S \cap N) = 55\% = 0.55$ (interés por ambas cuestiones) Podemos organizar estos datos en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor todas las relaciones entre los sucesos: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & N & \bar{N} & \text{Total} \\ \hline S & 0.55 & 0.35 & 0.90 \\ \hline \bar{S} & 0.05 & 0.05 & 0.10 \\ \hline \text{Total} & 0.60 & 0.40 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los valores de las celdas interiores se obtienen por diferencia. Por ejemplo, $P(S \cap \bar{N}) = P(S) - P(S \cap N) = 0.90 - 0.55 = 0.35$.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho alumno esté interesado por alguna de las dos cuestiones?** Cuando nos piden la probabilidad de que ocurra "alguna de las dos", se refieren a la unión de los sucesos ($S \cup N$). Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(S \cup N) = P(S) + P(N) - P(S \cap N)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S \cup N) = 0.90 + 0.60 - 0.55$$ $$P(S \cup N) = 1.50 - 0.55 = 0.95$$ 💡 **Tip:** Recuerda que restamos la intersección porque al sumar $P(S)$ y $P(N)$, los alumnos que están en ambos grupos se están contando dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \cup N) = 0.95}$$ (Existe un 95 % de probabilidad).

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que esté interesado por sus notas, sabiendo que no está interesado por las redes sociales.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de $N$ dado que ha ocurrido $\bar{S}$ (no interesado en redes sociales). La fórmula es: $$P(N | \bar{S}) = \frac{P(N \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}$$ Calculamos los componentes necesarios: 1. $P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.90 = 0.10$ 2. Del gráfico de la tabla o restando: $P(N \cap \bar{S}) = P(N) - P(N \cap S) = 0.60 - 0.55 = 0.05$ Aplicamos la fórmula: $$P(N | \bar{S}) = \frac{0.05}{0.10} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada restringe nuestro "universo" de estudio. En este caso, solo nos fijamos en el 10 % que no usa redes sociales; de ese grupo, la mitad (0.05) se interesa por las notas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N | \bar{S}) = 0.5}$$ (Existe un 50 % de probabilidad).

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no esté interesado por ninguna de estas dos cuestiones.** Nos piden la probabilidad de que no esté interesado en redes sociales **y** no esté interesado en notas, es decir, $P(\bar{S} \cap \bar{N})$. Podemos resolverlo de dos formas: **Método 1: Leyes de De Morgan** Sabemos que $\bar{S} \cap \bar{N} = \overline{S \cup N}$. Por tanto: $$P(\bar{S} \cap \bar{N}) = 1 - P(S \cup N)$$ Usando el resultado del apartado (a): $$P(\bar{S} \cap \bar{N}) = 1 - 0.95 = 0.05$$ **Método 2: Tabla de contingencia** Si miramos la tabla realizada en el paso 1, el cruce entre $\bar{S}$ y $\bar{N}$ es directamente **0.05**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S} \cap \bar{N}) = 0.05}$$ (Existe un 5 % de probabilidad).