Distribución de la media muestral y probabilidad

A partir del enunciado, definimos la variable aleatoria $X$ como la altura de los estudiantes. Sabemos que: - Media poblacional: $\mu = 165$ cm - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ cm Por tanto, la población sigue una distribución: $$X \sim N(165, 10)$$ En el apartado a) nos preguntan por la distribución de la **media muestral** ($\bar{X}$) para muestras de tamaño $n = 25$.

**a) (1 punto) ¿Qué distribución sigue la altura media de las muestras de tamaño 25?** Si una población sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias de todas las muestras posibles de tamaño $n$ sigue una distribución Normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 165$ - Desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ Calculamos la desviación típica para $n = 25$: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población de partida es Normal, la distribución de la media muestral es Normal para cualquier tamaño de muestra $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(165, 2)}$$

**b) (1.5 puntos) Se elige al azar una muestra de 25 estudiantes y se les mide la altura. ¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de esa muestra supere 160 cm?** Debemos calcular la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor que 160 cm. Utilizando la distribución obtenida en el apartado anterior, $\bar{X} \sim N(165, 2)$, buscamos: $$P(\bar{X} \gt 160)$$

Para poder utilizar las tablas de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, debemos transformar nuestra variable $\bar{X}$ mediante la tipificación: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$$ Sustituimos los valores correspondientes: $$P(\bar{X} \gt 160) = P\left(Z \gt \frac{160 - 165}{2}\right) = P\left(Z \gt \frac{-5}{2}\right) = P(Z \gt -2.5)$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica de la distribución que estamos usando (en este caso, la de la media muestral, que es 2).

Como las tablas de la Normal estándar suelen mostrar valores acumulados para $P(Z \le z)$ con $z$ positivo, aplicamos la propiedad de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -2.5) = P(Z \le 2.5)$$ Buscamos el valor $2.5$ en la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2.5) = 0.9938$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 160) = 0.9938}$$ Existe una probabilidad del **99.38%** de que la altura media de la muestra de 25 estudiantes sea superior a 160 cm.