Optimización de beneficios de un distribuidor de software

Para resolver este problema de programación lineal, primero identificamos las incógnitas y lo que queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: número de clientes que son **empresas**. - $y$: número de clientes que son **particulares**. La función que queremos maximizar es el beneficio total, que llamaremos $B(x, y)$: $$B(x, y) = 386x + 229y$$ 💡 **Tip:** Las variables deben representar cantidades reales y positivas. En este caso, el número de clientes debe ser un número entero, aunque primero resolveremos el problema de forma continua.

Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas: 1. **Mínimo de empresas:** Ha de conseguir al menos 25 empresas. $$x \ge 25$$ 2. **Relación particulares/empresas:** El número de particulares ($y$) debe ser como mínimo el doble que el de empresas ($x$). $$y \ge 2x \implies -2x + y \ge 0$$ 3. **Límite global de clientes:** El total de clientes no puede superar los 120. $$x + y \le 120$$ 4. **Condiciones de no negatividad:** Aunque ya están implícitas en las anteriores, sabemos que: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien las frases como "al menos" ($\ge$) o "como mínimo" ($\ge$).

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles (región factible): - $r_1: x = 25$ (Recta vertical) - $r_2: y = 2x$ (Pasa por $(0,0)$ y $(40, 80)$) - $r_3: x + y = 120$ (Pasa por $(120, 0)$ y $(0, 120)$) Calculamos los **vértices** de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas: - **Vértice A** ($r_1 \cap r_2$): $$\begin{cases} x = 25 \\ y = 2x \end{cases} \implies y = 50 \implies \mathbf{A(25, 50)}$$ - **Vértice B** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} x = 25 \\ x + y = 120 \end{cases} \implies 25 + y = 120 \implies y = 95 \implies \mathbf{B(25, 95)}$$ - **Vértice C** ($r_2 \cap r_3$): $$\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 120 \end{cases} \implies x + 2x = 120 \implies 3x = 120 \implies x = 40, y = 80 \implies \mathbf{C(40, 80)}$$ $$\boxed{A(25, 50), \quad B(25, 95), \quad C(40, 80)}$$

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 386x + 229y$ en cada uno de los vértices para ver cuál ofrece el mayor valor: $$ \begin{array}{c|l|l} \text{Vértice} & B(x, y) = 386x + 229y & \text{Beneficio (€)} \\\hline A(25, 50) & 386(25) + 229(50) = 9650 + 11450 & 21100 \\ B(25, 95) & 386(25) + 229(95) = 9650 + 21755 & 31405 \\ C(40, 80) & 386(40) + 229(80) = 15440 + 18320 & 33760 \\ \end{array} $$ El beneficio máximo se obtiene en el punto $C(40, 80)$. ✅ **Resultado final:** La combinación que proporciona el máximo beneficio es de **40 empresas y 80 particulares**. El beneficio ascenderá a **33760 €**. $$\boxed{\text{40 empresas, 80 particulares; Beneficio: 33760 €}}$$