Cálculo de derivadas y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones $f(x) = \frac{e^{5x} - x}{x^2 - x}$ y $g(x) = (2x^2 - x)^3 \cdot \ln(x^3 + 2)$** Empezamos por la función $f(x)$, que es un cociente de dos funciones. Para derivarla, aplicaremos la **regla del cociente**. Llamamos al numerador $u = e^{5x} - x$ y al denominador $v = x^2 - x$. Sus derivadas son: - $u' = 5e^{5x} - 1$ (aplicando la regla de la cadena en la exponencial). - $v' = 2x - 1$. La fórmula de la derivada del cociente es: $$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Sustituimos los valores: $$f'(x) = \frac{(5e^{5x} - 1)(x^2 - x) - (e^{5x} - x)(2x - 1)}{(x^2 - x)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(x)}$ es $f'(x) \cdot e^{f(x)}$. Por eso, la derivada de $e^{5x}$ es $5e^{5x}$. ✅ **Resultado primera derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{(5e^{5x} - 1)(x^2 - x) - (e^{5x} - x)(2x - 1)}{(x^2 - x)^2}}$$

Ahora calculamos la derivada de $g(x) = (2x^2 - x)^3 \cdot \ln(x^3 + 2)$, que es un producto de dos funciones complejas. Aplicaremos la **regla del producto**: Llamamos $u = (2x^2 - x)^3$ y $v = \ln(x^3 + 2)$. Sus derivadas requieren la regla de la cadena: - $u' = 3(2x^2 - x)^2 \cdot (4x - 1)$ - $v' = \frac{3x^2}{x^3 + 2}$ (la derivada del logaritmo es $\frac{f'(x)}{f(x)}$) La fórmula de la derivada del producto es: $$g'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'$$ Sustituimos: $$g'(x) = 3(2x^2 - x)^2(4x - 1) \cdot \ln(x^3 + 2) + (2x^2 - x)^3 \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar una potencia $(f(x))^n$, la fórmula es $n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)$. ✅ **Resultado segunda derivada:** $$\boxed{g'(x) = 3(2x^2 - x)^2(4x - 1) \ln(x^3 + 2) + \frac{3x^2(2x^2 - x)^3}{x^3 + 2}}$$

**b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = \frac{1}{x}$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente, necesitamos un punto $(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$. 1. **Hallar la ordenada del punto ($y_0$):** Sustituimos $x = 1$ en la función original $h(x)$: $$y_0 = h(1) = \frac{1}{1} = 1$$ El punto de tangencia es **$(1, 1)$**. 2. **Hallar la pendiente ($m$):** La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto, es decir, $m = h'(1)$. Primero derivamos $h(x) = x^{-1}$: $$h'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$m = h'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a $f$ en el punto $a$ es siempre $f'(a)$.

Utilizamos la fórmula de la recta en su forma **punto-pendiente**: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos los valores que hemos calculado: $x_0 = 1$, $y_0 = 1$ y $m = -1$: $$y - 1 = -1(x - 1)$$ Simplificamos para obtener la ecuación explícita: $$y - 1 = -x + 1$$ $$y = -x + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente siempre tiene la forma $y = mx + n$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -x + 2}$$