Probabilidad y Estadística 2017 Andalucia
Probabilidad en fábricas de pasta
EJERCICIO 3
En una ciudad hay dos fábricas de pasta, $F_1$ y $F_2$, que producen dos tipos de productos, A y B, que venden a un distribuidor en paquetes de 1 kg. En un mes, la fábrica $F_1$ produce 20000 kg de pasta, de los que 12000 son del tipo A y la fábrica $F_2$ produce 25000 kg de pasta, de los que 15000 son del tipo A. Se escoge al azar un paquete del distribuidor.
a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?
b) (1 punto) Si el paquete elegido resulta ser del tipo A, ¿qué es más probable, que proceda de la fábrica $F_1$ o que proceda de la $F_2$?
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales:
- $F_1$: El paquete procede de la fábrica 1.
- $F_2$: El paquete procede de la fábrica 2.
- $A$: El paquete es del tipo A.
- $B$: El paquete es del tipo B.
Calculamos las probabilidades a partir de las cantidades totales del distribuidor:
Total de paquetes = $20000 + 25000 = 45000$ kg.
Probabilidades de las fábricas:
- $P(F_1) = \frac{20000}{45000} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$
- $P(F_2) = \frac{25000}{45000} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$
Probabilidades condicionadas (proporción dentro de cada fábrica):
- $P(A|F_1) = \frac{12000}{20000} = 0.6 \implies P(B|F_1) = 1 - 0.6 = 0.4$
- $P(A|F_2) = \frac{15000}{25000} = 0.6 \implies P(B|F_2) = 1 - 0.6 = 0.4$
Podemos representar esta situación con un **árbol de probabilidad**:
💡 **Tip:** Organizar los datos en un árbol o en una tabla de contingencia facilita visualizar los caminos de probabilidad total.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad del tipo B
**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?**
Para calcular la probabilidad de que el paquete sea del tipo B, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un paquete es de tipo B si viene de $F_1$ y es B, o si viene de $F_2$ y es B:
$$P(B) = P(F_1) \cdot P(B|F_1) + P(F_2) \cdot P(B|F_2)$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(B) = \left(\frac{4}{9} \cdot 0.4\right) + \left(\frac{5}{9} \cdot 0.4\right)$$
Como $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:
$$P(B) = \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{8}{45} + \frac{10}{45} = \frac{18}{45}$$
Simplificando la fracción:
$$P(B) = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 0.4$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0.4}$$
Paso 3
Comparación de probabilidades a posteriori
**b) (1 punto) Si el paquete elegido resulta ser del tipo A, ¿qué es más probable, que proceda de la fábrica $F_1$ o que proceda de la $F_2$?**
Para responder a esto, necesitamos comparar la probabilidad de que venga de $F_1$ sabiendo que es A, con la de que venga de $F_2$ sabiendo que es A. Usaremos el **Teorema de Bayes**.
Primero, calculamos $P(A)$. Como $P(B)=0.4$:
$$P(A) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$$
Ahora calculamos $P(F_1|A)$:
$$P(F_1|A) = \frac{P(F_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(F_1) \cdot P(A|F_1)}{P(A)} = \frac{\frac{4}{9} \cdot 0.6}{0.6} = \frac{4}{9} \approx 0.444$$
Calculamos $P(F_2|A)$:
$$P(F_2|A) = \frac{P(F_2 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(F_2) \cdot P(A|F_2)}{P(A)} = \frac{\frac{5}{9} \cdot 0.6}{0.6} = \frac{5}{9} \approx 0.556$$
💡 **Tip:** Observa que como ambos productos tienen la misma proporción de tipo A (60%), la probabilidad a posteriori depende directamente del volumen de producción de cada fábrica. Al producir $F_2$ más cantidad total, es más probable que un paquete A venga de allí.
Comparamos los resultados:
$P(F_2|A) > P(F_1|A)$ ya que $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que proceda de la fábrica } F_2}$$