Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 95 %, para la calificación media del total de participantes en la citada prueba.** En primer lugar, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa la puntuación en la prueba: - La población sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 6$. - El tamaño de la muestra es $n = 64$. - La media muestral obtenida es $\bar{x} = 35$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si el nivel de confianza es del $95 \%$, entonces: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $\alpha/2$ en cada cola de la distribución. Para el $95 \%$, es uno de los valores más comunes que debes memorizar.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{6}{\sqrt{64}} = 1.96 \cdot \frac{6}{8} = 1.96 \cdot 0.75 = 1.47$$ Ahora, aplicamos este error a la media muestral: - Límite inferior: $35 - 1.47 = 33.53$ - Límite superior: $35 + 1.47 = 36.47$ Por tanto, el intervalo de confianza al $95 \%$ es: $$\boxed{IC = (33.53, 36.47)}$$

**b) (1.25 puntos) Halle el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la puntuación media del total de participantes, con un error inferior a 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99 %.** En este apartado, cambian las condiciones: - El error máximo permitido es $E \lt 0.5$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.99$. - La desviación típica poblacional sigue siendo $\sigma = 6$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99 \%$: $$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ En la tabla de la normal, el valor $0.995$ se encuentra exactamente a la mitad entre $2.57$ y $2.58$. Por tanto, tomamos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si tu profesor o tabla te indica usar $2.58$ en lugar de $2.575$, los resultados variarán ligeramente, pero ambos suelen aceptarse si se justifica.

Partimos de la fórmula del error y despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n \gt \left( \frac{2.575 \cdot 6}{0.5} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{15.45}{0.5} \right)^2$$ $$n \gt (30.9)^2$$ $$n \gt 954.81$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $0.5$, debemos redondear siempre al entero superior, independientemente de los decimales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 955}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al solicitado.