Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.5 puntos) Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado: $A^2$, $A - B$, $A \cdot B$, $A \cdot B^t$** Primero, identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - La matriz $A$ tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que es de dimensión $2 \times 3$. - La matriz $B$ tiene 3 filas y 2 columnas, por lo que es de dimensión $3 \times 2$. **Operación $A^2$:** Para que una matriz pueda elevarse al cuadrado (o multiplicarse por sí misma), debe ser una **matriz cuadrada** (mismo número de filas que de columnas). Como $A$ es de dimensión $2 \times 3$: $$\text{Dimensión de } A (2 \times 3) \neq \text{Dimensión de } A (2 \times 3)$$ El número de columnas de la primera (3) no coincide con el número de filas de la segunda (2). 💡 **Tip:** Solo las matrices cuadradas ($n \times n$) pueden multiplicarse por sí mismas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 \text{ no puede realizarse porque } A \text{ no es cuadrada.}}$$

**Operación $A - B$:** Para sumar o restar dos matrices, estas deben tener exactamente la **misma dimensión**. - Dimensión de $A: 2 \times 3$ - Dimensión de $B: 3 \times 2$ Como $(2 \times 3) \neq (3 \times 2)$, no es posible realizar la resta elemento a elemento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A - B \text{ no puede realizarse porque las matrices tienen distintas dimensiones.}}$$

**Operación $A \cdot B$:** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. - Dimensión de $A: 2 \times \mathbf{3}$ - Dimensión de $B: \mathbf{3} \times 2$ Como coinciden ($3 = 3$), la operación **sí puede realizarse** y el resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. Calculamos el producto fila por columna: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 + 0 + 1 & 1 + 0 + 1 \\ 0 + 1 + 1 & 0 + 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**Operación $A \cdot B^t$:** Primero hallamos la traspuesta de $B$. Si $B$ es $3 \times 2$, entonces $B^t$ es $2 \times 3$: $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora comprobamos las dimensiones para el producto: - Dimensión de $A: 2 \times \mathbf{3}$ - Dimensión de $B^t: \mathbf{2} \times 3$ Como el número de columnas de $A$ (3) no coincide con el número de filas de $B^t$ (2), la operación no puede realizarse. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B^t \text{ no puede realizarse.}}$$

**b) (1 punto) Halle la matriz $X$ tal que $A^t + B \cdot X = 3B$.** Primero, despejamos el término que contiene a $X$: $$B \cdot X = 3B - A^t$$ Calculamos la matriz resultante del lado derecho. Necesitamos $A^t$ y $3B$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad 3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ Restamos: $$3B - A^t = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Como $B$ no es una matriz cuadrada, no podemos calcular su inversa. Debemos deducir la dimensión de $X$ y resolver mediante un sistema.

Para que el producto $B \cdot X$ sea posible y resulte en una matriz $3 \times 2$, siendo $B$ una $3 \times 2$, $X$ debe ser de dimensión **$2 \times 2$**. Sea $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$. Sustituimos en la ecuación: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto del primer miembro: $$\begin{pmatrix} 0 \cdot x + 1 \cdot z & 0 \cdot y + 1 \cdot w \\ 1 \cdot x + 0 \cdot z & 1 \cdot y + 0 \cdot w \\ 1 \cdot x + 1 \cdot z & 1 \cdot y + 1 \cdot w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & w \\ x & y \\ x+z & y+w \end{pmatrix}$$ Igualamos elemento a elemento: 1. $z = -1$ 2. $w = 3$ 3. $x = 3$ 4. $y = -1$ Comprobamos con la tercera fila: - $x + z = 3 + (-1) = 2$ (Correcto) - $y + w = -1 + 3 = 2$ (Correcto) Los valores son consistentes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$$