Cálculo de parámetros y estudio de una función polinómica

**a) (1 punto) Halle $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa $x = -1$ y un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -2$.** Primero, calculamos la primera y segunda derivada de $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$, ya que las condiciones del enunciado se refieren a extremos y puntos de inflexión: 1. Primera derivada (para extremos): $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 2. Segunda derivada (para curvatura e inflexión): $f''(x) = 6x + 2a$ Planteamos las condiciones dadas: - Si hay un mínimo en $x = -1$, entonces la derivada en ese punto debe ser cero: $f'(-1) = 0$. - Si hay un punto de inflexión en $x = -2$, entonces la segunda derivada en ese punto debe ser cero: $f''(-2) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista un extremo relativo o un punto de inflexión en funciones polinómicas, la derivada correspondiente debe anularse en ese punto.

Empezamos con la condición del punto de inflexión por ser más sencilla de resolver: $$f''(-2) = 6(-2) + 2a = 0 \implies -12 + 2a = 0 \implies 2a = 12 \implies a = 6.$$ Ahora usamos el valor de $a$ en la condición del mínimo: $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(6)(-1) + b = 0$$ $$3 - 12 + b = 0 \implies -9 + b = 0 \implies b = 9.$$ Verificamos el mínimo con la segunda derivada: $f''(-1) = 6(-1) + 12 = 6 \gt 0$, lo que confirma que es un mínimo. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = 6, \quad b = 9}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = 6$ y $b = 9$, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función.** Con $a=6$ y $b=9$, la función es $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$. **Corte con el eje OY (x=0):** $$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$$ **Corte con el eje OX (f(x)=0):** $$x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \implies x(x^2 + 6x + 9) = 0$$ Esto nos da la solución $x = 0$ y resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = -3 \text{ (doble)}$$ ✅ **Resultado (Cortes):** $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (0, 0) \text{ y } (-3, 0)}$$

Para la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x) = 3x^2 + 12x + 9$. Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$3(x^2 + 4x + 3) = 0 \implies 3(x+3)(x+1) = 0 \implies x = -3, \quad x = -1.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -1) & -1 & (-1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los extremos: - Máximo en $x = -3$: $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = 0 \implies \mathbf{(-3, 0)}$ - Mínimo en $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -4 \implies \mathbf{(-1, -4)}$ 💡 **Tip:** Para saber el signo en el intervalo, sustituye un valor cualquiera del intervalo en la derivada. Por ejemplo, $f'(0) = 9 \gt 0$, por lo que a la derecha de $-1$ crece.

Representamos los puntos calculados (cortes y extremos) y unimos siguiendo la monotonía. La función crece hasta el $(-3,0)$, decrece hasta el $(-1,-4)$ y vuelve a crecer pasando por el $(0,0)$. También sabemos que tiene un punto de inflexión en $x = -2$, donde $f(-2) = -8 + 24 - 18 = -2$.