Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Apoyo al muro

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos: - $T$: La persona elegida es votante de Trump. - $\bar{T}$: La persona elegida no es votante de Trump. - $M$: La persona apoya la construcción del muro. - $\bar{M}$: La persona no apoya la construcción del muro. Calculamos las probabilidades a priori: - Total de personas: $5000 + 10000 = 15000$. - $P(T) = \dfrac{5000}{15000} = \dfrac{1}{3} \approx 0.333$ - $P(\bar{T}) = \dfrac{10000}{15000} = \dfrac{2}{3} \approx 0.667$ Probabilidades condicionadas dadas por el enunciado: - $P(M|T) = 20\% = 0.2$ - $P(M|\bar{T}) = 5\% = 0.05$ Representamos los datos en el siguiente árbol:

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que ésta apoye la construcción del muro?** Para calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar apoye el muro, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de apoyar el muro siendo votante de Trump y de apoyarlo no habiéndolo votado: $$P(M) = P(T) \cdot P(M|T) + P(\bar{T}) \cdot P(M|\bar{T})$$ Sustituimos los valores: $$P(M) = \left( \frac{1}{3} \cdot 0.20 \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot 0.05 \right)$$ $$P(M) = \frac{0.20}{3} + \frac{0.10}{3} = \frac{0.30}{3} = 0.1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado ($M$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.1}$$ (Es decir, hay un 10% de probabilidad).

**b) (0.75 puntos) Si la persona elegida apoya la construcción del muro, ¿cuál es la probabilidad de que no haya votado a Trump?** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que sabemos que el suceso $M$ ha ocurrido. Debemos calcular $P(\bar{T}|M)$ usando el **Teorema de Bayes**: $$P(\bar{T}|M) = \frac{P(\bar{T} \cap M)}{P(M)} = \frac{P(\bar{T}) \cdot P(M|\bar{T})}{P(M)}$$ Utilizamos los datos obtenidos anteriormente: - $P(\bar{T} \cap M) = \frac{2}{3} \cdot 0.05 = \frac{0.1}{3}$ - $P(M) = 0.1$ Operamos: $$P(\bar{T}|M) = \frac{0.1 / 3}{0.1} = \frac{0.1}{3 \cdot 0.1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(A|B)$ se calcula como la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad de la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{T}|M) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea votante de Trump o apoye la construcción del muro.** Nos piden la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(T \cup M)$. Aplicamos la fórmula general de la unión: $$P(T \cup M) = P(T) + P(M) - P(T \cap M)$$ Ya conocemos los valores: - $P(T) = \frac{1}{3}$ - $P(M) = 0.1 = \frac{1}{10}$ - $P(T \cap M) = P(T) \cdot P(M|T) = \frac{1}{3} \cdot 0.2 = \frac{0.2}{3} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ Calculamos la suma: $$P(T \cup M) = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ($m.c.m(3, 10, 15) = 30$): $$P(T \cup M) = \frac{10}{30} + \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{11}{30} \approx 0.3667$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra 'o' suele indicar la unión ($A \cup B$), mientras que la palabra 'y' indica la intersección ($A \cap B$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup M) = \frac{11}{30} \approx 0.3667}$$