Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 95 %, para la vida media de dicha especie de tortugas.** Primero, identificamos los parámetros de la población y los datos de la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ años. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Datos de la muestra: $\{46, 38, 59, 29, 34, 32, 38, 21, 44, 34\}$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{46 + 38 + 59 + 29 + 34 + 32 + 38 + 21 + 44 + 34}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{375}{10} = 37.5\text{ años}$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional. Asegúrate de sumar todos los valores correctamente antes de dividir por $n$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor de $\alpha$ y $\alpha/2$: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$p(z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor de $z$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1.96$ para el $95\%$ es uno de los más habituales en Selectividad, es recomendable recordarlo.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error de estimación ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 1.96 \cdot \sqrt{10} \approx 1.96 \cdot 3.1623 \approx 6.198$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (37.5 - 6.198, 37.5 + 6.198) = (31.302, 43.698)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (31.30, 43.70) \text{ años}}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 98 %.** En este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \alpha/2 = 0.01$. - Error máximo permitido: $E \le 5$ años. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$p(z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Mirando en la tabla $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.99$ se encuentra entre $z=2.32$ (probabilidad $0.9898$) y $z=2.33$ (probabilidad $0.9901$). Tomamos el más cercano o la media, en este caso suele usarse: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, elige el más próximo o interpola. Para el $98\%$, $2.33$ es el estándar aceptado.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.33 \cdot 10}{5} \right)^2 = \left( \frac{23.3}{5} \right)^2 = (4.66)^2 = 21.7156$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **no superior** a 5, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 22 \text{ tortugas}}$$