Programación lineal: Recinto, vértices y optimización

**a) (0.8 puntos) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones:** **$x + y \le 3$ $2x + y \ge 4$ $y \ge -1$** Para representar el recinto, primero dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación y determinamos el semiplano correspondiente: 1. **Recta $r_1: x + y = 3$**. Pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(3, 0)$. Como la inecuación es $x + y \le 3$, probamos con el origen $(0,0)$: $0+0 \le 3$ (Verdadero). El semiplano incluye al origen. 2. **Recta $r_2: 2x + y = 4$**. Pasa por los puntos $(0, 4)$ y $(2, 0)$. Probamos con $(0,0)$: $2(0)+0 \ge 4$ (Falso). El semiplano no incluye al origen. 3. **Recta $r_3: y = -1$**. Es una recta horizontal que pasa por $y = -1$. Como $y \ge -1$, el semiplano es la región superior a la recta. La intersección de estos tres semiplanos define un recinto triangular cerrado y acotado. 💡 **Tip:** Para dibujar una recta basta con dar dos valores a $x$ y obtener sus correspondientes $y$. El origen $(0,0)$ es el punto más fácil para comprobar qué región sombrear, siempre que la recta no pase por él.

**b) (0.25 puntos) Razone si el punto $(2, 1)$ pertenece al recinto anterior.** Para que un punto pertenezca al recinto, debe cumplir **todas** las inecuaciones del sistema simultáneamente. Sustituimos $x = 2$ e $y = 1$: 1. $x + y \le 3 \implies 2 + 1 \le 3 \implies 3 \le 3$ (**CUMPLE**). 2. $2x + y \ge 4 \implies 2(2) + 1 \ge 4 \implies 5 \ge 4$ (**CUMPLE**). 3. $y \ge -1 \implies 1 \ge -1$ (**CUMPLE**). Como el punto satisface las tres desigualdades, podemos afirmar que está dentro de la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (2, 1) sí pertenece al recinto}}$$

**c) (1.2 puntos) Obtenga los vértices del recinto y los valores mínimo y máximo de la función $F(x, y) = 5x + 4y$ en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.** Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: * **Vértice A** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(2x - x) + (y - y) = 4 - 3 \implies x = 1$. Sustituyendo en la primera: $1 + y = 3 \implies y = 2$. Punto **$A(1, 2)$**. * **Vértice B** (Intersección de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} x + y = 3 \\ y = -1 \end{cases} \implies x - 1 = 3 \implies x = 4.$$ Punto **$B(4, -1)$**. * **Vértice C** (Intersección de $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} 2x + y = 4 \\ y = -1 \end{cases} \implies 2x - 1 = 4 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5.$$ Punto **$C(2.5, -1)$**. 💡 **Tip:** Los vértices siempre se encuentran en las esquinas del recinto dibujado en el paso anterior. Es vital comprobar visualmente que las coordenadas obtenidas tienen sentido en la gráfica.

Evaluamos la función $F(x, y) = 5x + 4y$ en cada uno de los vértices encontrados: 1. En $A(1, 2)$: $F(1, 2) = 5(1) + 4(2) = 5 + 8 = 13$. 2. En $B(4, -1)$: $F(4, -1) = 5(4) + 4(-1) = 20 - 4 = 16$. 3. En $C(2.5, -1)$: $F(2.5, -1) = 5(2.5) + 4(-1) = 12.5 - 4 = 8.5$. Comparando los valores obtenidos: ✅ **Resultado (Máximo y Mínimo):** $$\boxed{\text{Máximo: } 16 \text{ en el punto } B(4, -1)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: } 8.5 \text{ en el punto } C(2.5, -1)}$$

**d) (0.25 puntos) Razone si la función $F$ puede alcanzar el valor 9 en el recinto anterior.** Dado que el recinto es un conjunto **convexo y cerrado** (un triángulo relleno), la función continua $F(x, y)$ toma todos los valores comprendidos entre su valor mínimo y su valor máximo (teorema de los valores intermedios aplicado a funciones de varias variables sobre compactos). Hemos calculado que: - Valor mínimo = $8.5$ - Valor máximo = $16$ Como el valor $9$ se encuentra en el intervalo $[8.5, 16]$, la función $F$ **sí puede alcanzar dicho valor** en algún punto del interior o del borde del recinto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, porque } 8.5 \le 9 \le 16 \text{ y el recinto es conexo.}}$$