Derivadas y Rectas Tangentes

**a) (1 punto) Determine la abscisa del punto donde se verifique que $f'(x) = g'(x)$.** En primer lugar, calculamos las derivadas de ambas funciones. Para $f(x)$, podemos reescribir la expresión para derivar más fácilmente: $$f(x) = \frac{5x - 16}{x} = \frac{5x}{x} - \frac{16}{x} = 5 - 16x^{-1}$$ Derivamos usando la regla de la potencia: $$f'(x) = 0 - 16 \cdot (-1)x^{-2} = 16x^{-2} = \frac{16}{x^2}$$ Para $g(x)$, aplicamos directamente la regla de la potencia: $$g'(x) = (x^2)' = 2x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, simplificar la fracción antes de derivar suele ser más rápido y evita errores. $$\boxed{f'(x) = \frac{16}{x^2}, \quad g'(x) = 2x}$$

Buscamos el valor de $x$ tal que $f'(x) = g'(x)$: $$\frac{16}{x^2} = 2x$$ Multiplicamos por $x^2$ en ambos lados (notando que $x \neq 0$ por el dominio de $f$): $$16 = 2x^3$$ $$x^3 = \frac{16}{2}$$ $$x^3 = 8$$ Despejamos $x$ aplicando la raíz cúbica: $$x = \sqrt[3]{8} = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa $x = 2$ y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.** La ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Para $x = 2$ en $f(x)$: 1. **Punto de tangencia:** $f(2) = \frac{5(2) - 16}{2} = \frac{10 - 16}{2} = -3$. 2. **Pendiente:** $f'(2) = \frac{16}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$. Sustituimos en la fórmula: $$y - (-3) = 4(x - 2)$$ $$y + 3 = 4x - 8$$ $$y = 4x - 11$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto. ✅ **Recta tangente a f:** $$\boxed{r_f: y = 4x - 11}$$

Para $x = 2$ en $g(x) = x^2$: 1. **Punto de tangencia:** $g(2) = 2^2 = 4$. 2. **Pendiente:** $g'(2) = 2(2) = 4$. Sustituimos en la fórmula punto-pendiente: $$y - 4 = 4(x - 2)$$ $$y - 4 = 4x - 8$$ $$y = 4x - 4$$ ✅ **Recta tangente a g:** $$\boxed{r_g: y = 4x - 4}$$

Para hallar el punto de corte, igualamos ambas ecuaciones de las rectas tangentes: $$\begin{cases} y = 4x - 11 \\ y = 4x - 4 \end{cases}$$ Igualamos las expresiones para $y$: $$4x - 11 = 4x - 4$$ $$4x - 4x = -4 + 11$$ $$0 = 7$$ Obtenemos una contradicción ($0 \neq 7$). Esto significa que el sistema no tiene solución. Geométricamente, esto ocurre porque ambas rectas tienen la misma pendiente ($m=4$) pero distinta ordenada en el origen, por lo que son **rectas paralelas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe punto de corte, las rectas son paralelas.}}$$