Probabilidad con reemplazamiento condicionado

**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde.** Primero definimos los sucesos para mayor claridad: - $R_1$: Extraer bola roja en la primera extracción. - $V_1$: Extraer bola verde en la primera extracción. - $R_2$: Extraer bola roja en la segunda extracción. - $V_2$: Extraer bola verde en la segunda extracción. Analicemos el cambio en la urna según la regla de reemplazamiento: 1. **Estado inicial:** 5 rojas (R) y 3 verdes (V). Total = 8 bolas. 2. **Si sale $R_1$ ($P(R_1) = 5/8$):** Quitamos la roja y añadimos 2 verdes. La urna queda con 4 rojas y 5 verdes ($3+2=5$). Total = 9 bolas. 3. **Si sale $V_1$ ($P(V_1) = 3/8$):** Quitamos la verde y añadimos 2 rojas. La urna queda con 7 rojas ($5+2=7$) y 2 verdes. Total = 9 bolas. 💡 **Tip:** En este tipo de problemas, la composición de la urna cambia drásticamente en el segundo paso. Es vital recalcular el número total de bolas para las probabilidades condicionadas.

Visualizamos el experimento con un árbol de probabilidad para identificar los caminos que llevan a cada resultado:

Para hallar $P(V_2)$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La segunda bola puede ser verde habiendo sido la primera roja, o habiendo sido la primera verde: $$P(V_2) = P(R_1) \cdot P(V_2|R_1) + P(V_1) \cdot P(V_2|V_1)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(V_2) = \left( \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{9} \right) + \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{9} \right)$$ $$P(V_2) = \frac{25}{72} + \frac{6}{72} = \frac{31}{72}$$ Realizando la división: $$P(V_2) \approx 0.4306$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_2) = \frac{31}{72} \approx 0.4306}$$

**b) (1.25 puntos) Halle la probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.** Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, $P(R_1|R_2)$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(R_1|R_2) = \frac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_2)} = \frac{P(R_1) \cdot P(R_2|R_1)}{P(R_2)}$$ Primero, calculamos $P(R_2)$. Como sabemos que $P(V_2) + P(R_2) = 1$ (ya que solo hay dos colores posibles en la segunda extracción): $$P(R_2) = 1 - P(V_2) = 1 - \frac{31}{72} = \frac{72-31}{72} = \frac{41}{72}$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(R_1|R_2) = \frac{\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{9}}{\frac{41}{72}} = \frac{\frac{20}{72}}{\frac{41}{72}}$$ Simplificamos los denominadores: $$P(R_1|R_2) = \frac{20}{41} \approx 0.4878$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (primera bola) dado un 'efecto' observado (segunda bola). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1|R_2) = \frac{20}{41} \approx 0.4878}$$