Intervalo de confianza y tamaño muestral para la proporción

**a) (1.25 puntos) Determine, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería.** Primero, extraemos la información del enunciado para el apartado a): - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Estudiantes que desayunan: $x = 25$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{x}{n} = \dfrac{25}{100} = 0.25$ - Complemento de la proporción: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.25 = 0.75$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el número de éxitos entre el total de la muestra. Su complementario $\hat{q}$ representa la probabilidad de 'no éxito'. $$\boxed{\hat{p} = 0.25, \quad \hat{q} = 0.75, \quad n = 100}$$

Para un nivel de confianza del $95 \%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0.025$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \dfrac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor correspondiente a $0.975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor $1.96$ es uno de los más habituales en Selectividad. Corresponde siempre al $95 \%$ de confianza.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{100}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.001875} \approx 1.96 \cdot 0.0433 = 0.08487$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.25 - 0.08487, \quad 0.25 + 0.08487)$$ $$I.C. = (0.16513, \quad 0.33487)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.1651, \quad 0.3349)}$$

**b) (1.25 puntos) Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra aleatoria es de 0.2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5 % calcule el tamaño mínimo de la muestra.** Identificamos los nuevos datos del apartado b): - Proporción poblacional (estimada): $p = 0.2$ - Complemento: $q = 1 - 0.2 = 0.8$ - Error máximo: $E \lt 0.03$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.925$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $1 - \alpha = 0.925 \implies \alpha = 0.075 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0.0375$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0375 = 0.9625$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor $0.9625$, obtenemos: $$z_{\alpha/2} = 1.78$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no estuviera exacto en la tabla, deberíamos interpolar o elegir el más cercano, pero $0.9625$ aparece exactamente para $1.78$.

Partimos de la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{p \cdot q}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Como queremos que el error sea inferior a $0.03$, planteamos la desigualdad: $$n \gt \frac{1.78^2 \cdot 0.2 \cdot 0.8}{0.03^2}$$ $$n \gt \frac{3.1684 \cdot 0.16}{0.0009}$$ $$n \gt \frac{0.506944}{0.0009}$$ $$n \gt 563.27$$ Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe ser mayor que $563.27$ para asegurar que el error sea inferior al margen dado, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 564 \text{ estudiantes}}$$