Álgebra 2017 Aragon
Optimización del transporte de animales (Programación Lineal)
Una empresa de transporte va a realizar el transporte de animales de compañía entre dos ciudades. Para ello, va a alquilar furgonetas especializadas en este tipo de transporte, que pueden ser de dos tipos, A y B. Cada furgoneta de tipo A tiene 4 jaulas individuales para perros y 3 jaulas individuales para gatos, mientras que cada furgoneta de tipo B tiene 2 jaulas individuales para perros y 6 jaulas individuales para gatos. El coste de alquiler de cada furgoneta de tipo A es de 240 euros y el coste de alquiler de cada furgoneta de tipo B es de 400 euros. Además, por razones comerciales, el número de furgonetas de tipo B debe ser mayor o igual que el número de furgonetas de tipo A. La empresa tiene que garantizar espacio para, al menos, 24 perros y 54 gatos. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántas furgonetas de cada tipo debe alquilar para que el coste sea mínimo. ¿Cuál es el valor de ese coste mínimo?
Paso 1
Definición de variables y organización de datos
Para resolver este problema de programación lineal, primero identificamos las incógnitas, que son las cantidades de furgonetas a alquilar:
$x =$ número de furgonetas de tipo A.
$y =$ número de furgonetas de tipo B.
Organizamos la información en una tabla para ver las restricciones de forma clara:
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Tipo de furgoneta} & \text{Perros} & \text{Gatos} & \text{Coste (€)} \\ \hline
\text{Tipo A (x)} & 4 & 3 & 240 \\ \hline
\text{Tipo B (y)} & 2 & 6 & 400 \\ \hline
\text{Mínimo requerido} & 24 & 54 & \\ \hline
\end{array}$$
💡 **Tip:** Definir correctamente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de optimización.
Paso 2
Planteamiento del modelo matemático
A partir de los datos, establecemos la función objetivo (lo que queremos minimizar) y las restricciones del problema.
**Función objetivo:** Minimizar el coste total del alquiler.
$$C(x, y) = 240x + 400y$$
**Restricciones:**
1. **Capacidad para perros:** Cada furgoneta A tiene 4 jaulas y cada B tiene 2. Se necesitan al menos 24:
$4x + 2y \ge 24 \implies 2x + y \ge 12$
2. **Capacidad para gatos:** Cada furgoneta A tiene 3 jaulas y cada B tiene 6. Se necesitan al menos 54:
$3x + 6y \ge 54 \implies x + 2y \ge 18$
3. **Condición comercial:** El número de tipo B debe ser mayor o igual que el de tipo A:
$y \ge x$
4. **No negatividad:** El número de furgonetas no puede ser negativo:
$x \ge 0, \quad y \ge 0$
💡 **Tip:** Siempre simplifica las inecuaciones si es posible para facilitar el dibujo de las rectas.
Paso 3
Representación de la región factible
Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles.
- $r_1: 2x + y = 12$ (pasa por $(0, 12)$ y $(6, 0)$)
- $r_2: x + 2y = 18$ (pasa por $(0, 9)$ y $(18, 0)$)
- $r_3: y = x$ (bisectriz del primer cuadrante, pasa por $(0, 0)$ y $(10, 10)$)
La región factible es el área no acotada que cumple todas las desigualdades simultáneamente.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los puntos donde el coste puede ser mínimo son los vértices de esta región. Calculamos las intersecciones de las rectas que limitan la región factible:
**Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $2x + y = 12$.
Si $x=0 \implies y=12$.
Comprobamos en las demás restricciones:
$0 + 2(12) = 24 \ge 18$ (Sí)
$12 \ge 0$ (Sí)
Por tanto, **$A(0, 12)$**.
**Vértice B:** Intersección de $2x + y = 12$ y $x + 2y = 18$.
Resolviendo el sistema:
$$\begin{cases} 2x + y = 12 \implies y = 12 - 2x \\ x + 2y = 18 \end{cases}$$
Sustituimos:
$x + 2(12 - 2x) = 18$
$x + 24 - 4x = 18 \implies -3x = -6 \implies x = 2$
$y = 12 - 2(2) = 8$
Comprobamos $y \ge x \implies 8 \ge 2$ (Sí).
Por tanto, **$B(2, 8)$**.
**Vértice C:** Intersección de $x + 2y = 18$ y $y = x$.
$x + 2x = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6$
$y = 6$
Comprobamos $2(6) + 6 = 18 \ge 12$ (Sí).
Por tanto, **$C(6, 6)$**.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el coste $C(x, y) = 240x + 400y$ en cada uno de los vértices hallados:
1. En $A(0, 12)$:
$C(0, 12) = 240(0) + 400(12) = 4800 \text{ euros}$
2. En $B(2, 8)$:
$C(2, 8) = 240(2) + 400(8) = 480 + 3200 = 3680 \text{ euros}$
3. En $C(6, 6)$:
$C(6, 6) = 240(6) + 400(6) = 1440 + 2400 = 3840 \text{ euros}$
El valor mínimo se alcanza en el punto $(2, 8)$.
✅ **Resultado:**
La empresa debe alquilar **2 furgonetas de tipo A y 8 furgonetas de tipo B**. El coste mínimo será de **3680 euros**.
$$\boxed{\text{2 Tipo A, 8 Tipo B, Coste: } 3680\text{ €}}$$