Cálculo de parámetros en funciones e integral definida

**a) (2 puntos) Dada la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 2x + 2$, con $x \in \mathbb{R}$, encontrar, si existen, $a$ y $b$ tal que $f$ tenga un máximo relativo en $x = -1$ con valor $f(-1) = 2$.** Para que la función tenga un máximo relativo en $x = -1$ con valor $f(-1) = 2$, deben cumplirse dos condiciones fundamentales: 1. **Punto en la gráfica:** El punto $(-1, 2)$ debe pertenecer a la función, por lo que $f(-1) = 2$. 2. **Condición de extremo relativo:** La derivada en ese punto debe ser cero, es decir, $f'(-1) = 0$. Calculamos primero la derivada general de la función: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto donde la función es derivable, su primera derivada debe anularse en dicho punto ($f'(x_0) = 0$).

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($a$ y $b$): **Primera condición ($f(-1) = 2$):** $$a(-1)^3 + b(-1)^2 + 2(-1) + 2 = 2$$ $$-a + b - 2 + 2 = 2$$ $$-a + b = 2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **Segunda condición ($f'(-1) = 0$):** $$3a(-1)^2 + 2b(-1) + 2 = 0$$ $$3a - 2b + 2 = 0$$ $$3a - 2b = -2 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Tenemos el sistema: $$\begin{cases} -a + b = 2 \\ 3a - 2b = -2 \end{cases}$$

Resolvemos el sistema por el método de sustitución. De la primera ecuación despejamos $b$: $$b = a + 2$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$3a - 2(a + 2) = -2$$ $$3a - 2a - 4 = -2$$ $$a = 4 - 2 \implies a = 2$$ Ahora calculamos $b$: $$b = 2 + 2 \implies b = 4$$ **Comprobación del Máximo:** Para asegurar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6ax + 2b = 12x + 8$$ Para $x = -1$: $$f''(-1) = 12(-1) + 8 = -4 \lt 0$$ Como $f''(-1) \lt 0$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 4}$$

**b) (1,25 puntos) Calcular: $\int_{1}^{2} \left( e^{3x} - x^2 - \sqrt{x} - \frac{1}{x} \right) dx$** Primero hallamos la integral indefinida (primitiva) término a término utilizando las reglas básicas de integración: 1. $\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ 2. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$ 3. $\int \sqrt{x} dx = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2\sqrt{x^3}}{3}$ 4. $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$ La primitiva $F(x)$ es: $$F(x) = \frac{e^{3x}}{3} - \frac{x^3}{3} - \frac{2\sqrt{x^3}}{3} - \ln|x|$$ 💡 **Tip:** Para integrar $\sqrt{x}$, escríbelo como potencia $x^{1/2}$ y aplica la fórmula $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites superior (2) e inferior (1): $$\int_{1}^{2} \left( e^{3x} - x^2 - \sqrt{x} - \frac{1}{x} \right) dx = \left[ \frac{e^{3x} - x^3 - 2\sqrt{x^3}}{3} - \ln|x| \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en $x = 2$: $$F(2) = \frac{e^6 - 2^3 - 2\sqrt{2^3}}{3} - \ln 2 = \frac{e^6 - 8 - 4\sqrt{2}}{3} - \ln 2$$ Evaluamos en $x = 1$: $$F(1) = \frac{e^3 - 1^3 - 2\sqrt{1^3}}{3} - \ln 1 = \frac{e^3 - 1 - 2}{3} - 0 = \frac{e^3 - 3}{3}$$ Restamos ambos valores: $$I = \left( \frac{e^6 - 8 - 4\sqrt{2}}{3} - \ln 2 \right) - \left( \frac{e^3 - 3}{3} \right)$$ $$I = \frac{e^6 - e^3 - 8 - 4\sqrt{2} + 3}{3} - \ln 2 = \frac{e^6 - e^3 - 5 - 4\sqrt{2}}{3} - \ln 2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\frac{e^6 - e^3 - 5 - 4\sqrt{2}}{3} - \ln 2 \approx 126,98}$$