Probabilidad en extracciones sin reemplazamiento

Para resolver este problema, primero identificamos la composición de la urna: - Bolas blancas ($B$): 2 - Bolas negras ($N$): 4 - Bolas rojas ($R$): 5 - **Total de bolas**: $2 + 4 + 5 = 11$ Como las extracciones son **sin reemplazamiento**, la composición de la urna cambia tras la primera extracción: el número total de bolas pasa de 11 a 10 y el número de bolas del color extraído disminuye en una unidad. Representamos las posibles extracciones en un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento, recuerda que el denominador disminuye en 1 para la segunda bola.

**a) (0,75 puntos) La probabilidad de que las dos sean rojas.** Queremos calcular $P(R_1 \cap R_2)$. Aplicamos la regla del producto para sucesos dependientes: $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 | R_1)$$ Donde: - $P(R_1) = \dfrac{5}{11}$ (Hay 5 rojas de 11 totales). - $P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{10}$ (Quedan 4 rojas de 10 totales tras sacar una roja). Operamos: $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} = \frac{20}{110} = \frac{2}{11} \approx 0.1818$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ambas rojas}) = \frac{2}{11}}$$

**b) (1 punto) La probabilidad de que sean de distinto color.** Es más sencillo calcular primero la probabilidad de que sean del **mismo color** y usar el suceso contrario. Sucesos del mismo color: $\{BB, NN, RR\}$. 1. $P(BB) = \dfrac{2}{11} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{110}$ 2. $P(NN) = \dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{12}{110}$ 3. $P(RR) = \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{20}{110}$ Probabilidad de mismo color: $$P(\text{mismo}) = \frac{2}{110} + \frac{12}{110} + \frac{20}{110} = \frac{34}{110} = \frac{17}{55}$$ La probabilidad de que sean de **distinto color** es el complementario: $$P(\text{distinto}) = 1 - P(\text{mismo}) = 1 - \frac{17}{55} = \frac{55-17}{55} = \frac{38}{55} \approx 0.6909$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{distinto color}) = \frac{38}{55}}$$

**c) (0,75 puntos) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.** Para que la segunda bola sea roja ($R_2$), la primera pudo ser Blanca, Negra o Roja. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(N_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2)$$ Calculamos cada rama del árbol que termina en roja: 1. $P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \cdot P(R_2 | B_1) = \dfrac{2}{11} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{10}{110}$ 2. $P(N_1 \cap R_2) = P(N_1) \cdot P(R_2 | N_1) = \dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{20}{110}$ 3. $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 | R_1) = \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{20}{110}$ Sumamos los resultados: $$P(R_2) = \frac{10}{110} + \frac{20}{110} + \frac{20}{110} = \frac{50}{110} = \frac{5}{11} \approx 0.4545$$ 💡 **Tip:** En extracciones sucesivas sin reemplazamiento, la probabilidad a priori de cualquier extracción (si no conocemos los resultados previos) siempre es igual a la probabilidad de la primera bola: $P(R_2) = P(R_1) = 5/11$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_2) = \frac{5}{11}}$$

**d) (1 punto) Sea A el suceso "la primera bola extraída es roja" y B el suceso "las dos bolas son del mismo color", ¿son los dos sucesos A y B independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos cada término: - **$P(A)$**: Probabilidad de que la primera sea roja. $$P(A) = P(R_1) = \frac{5}{11}$$ - **$P(B)$**: Probabilidad de que sean del mismo color (calculado en el apartado b). $$P(B) = \frac{34}{110} = \frac{17}{55}$$ - **$P(A \cap B)$**: Probabilidad de que la primera sea roja **y** las dos sean del mismo color. Esto ocurre solo en el caso de que ambas sean rojas ($RR$). $$P(A \cap B) = P(R_1 \cap R_2) = \frac{20}{110} = \frac{2}{11}$$ Ahora comprobamos el producto $P(A) \cdot P(B)$: $$P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{11} \cdot \frac{17}{55} = \frac{85}{605} = \frac{17}{121}$$ Comparamos los valores: - $P(A \cap B) = \dfrac{2}{11} = \dfrac{22}{121}$ - $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{17}{121}$ Como $\dfrac{22}{121} \neq \dfrac{17}{121}$, entonces **$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos A y B no son independientes (son dependientes)}}$$