Sistema de ecuaciones: Inversión en fondos

**Plantear y resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuánto dinero invirtió en cada fondo.** Primero, definimos las incógnitas que representan la cantidad de dinero invertida en cada fondo: - $x$: Euros invertidos en el fondo **A**. - $y$: Euros invertidos en el fondo **B**. - $z$: Euros invertidos en el fondo **C**. A continuación, traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. La inversión total fue de $10000$ euros: $$x + y + z = 10000$$ 2. El beneficio total fue de $497$ euros, considerando los beneficios por euro ($0,05x$ para A, $0,1y$ para B y $0,02z$ para C): $$0,05x + 0,1y + 0,02z = 497$$ 3. La inversión en A fue el triple de la suma de B y C: $$x = 3(y + z)$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de mezclas o inversiones, asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (en este caso, todo está en euros). El sistema de ecuaciones queda configurado de la siguiente manera: $$\begin{cases} x + y + z = 10000 \\ 0,05x + 0,1y + 0,02z = 497 \\ x - 3y - 3z = 0 \end{cases}$$

Para facilitar los cálculos, podemos simplificar la segunda ecuación multiplicándola por $100$ para eliminar los decimales: $$100(0,05x + 0,1y + 0,02z) = 100(497) \implies 5x + 10y + 2z = 49700$$ Ahora, utilizaremos la tercera ecuación ($x = 3(y + z)$) para sustituirla en la primera: $$(3(y + z)) + y + z = 10000$$ $$3y + 3z + y + z = 10000$$ $$4y + 4z = 10000$$ Dividiendo toda la ecuación entre $4$, obtenemos una relación mucho más sencilla: $$\boxed{y + z = 2500}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una estructura repetida como $(y+z)$, intenta tratarla como un bloque para simplificar el sistema rápidamente.

Sabiendo que $y + z = 2500$, podemos calcular inmediatamente el valor de $x$ usando la tercera condición original: $$x = 3(y + z)$$ $$x = 3(2500)$$ $$\mathbf{x = 7500}$$ Ya tenemos la inversión en el fondo A: **7500 euros**.

Ahora sustituimos $x = 7500$ y la relación $z = 2500 - y$ en la ecuación de los beneficios simplificada ($5x + 10y + 2z = 49700$): $$5(7500) + 10y + 2(2500 - y) = 49700$$ $$37500 + 10y + 5000 - 2y = 49700$$ Agrupamos los términos con $y$ y los términos constantes: $$42500 + 8y = 49700$$ $$8y = 49700 - 42500$$ $$8y = 7200$$ $$y = \frac{7200}{8}$$ $$\mathbf{y = 900}$$ Finalmente, calculamos $z$: $$z = 2500 - 900$$ $$\mathbf{z = 1600}$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, es fundamental elegir el método más cómodo (sustitución, igualación o reducción). En este caso, la estructura del enunciado favorecía la sustitución.

Una vez hallados los valores, comprobamos que cumplen las condiciones del enunciado: - Suma total: $7500 + 900 + 1600 = 10000$ (Correcto). - Relación de inversión: $7500 = 3(900 + 1600) \implies 7500 = 3(2500)$ (Correcto). - Beneficios: $0,05(7500) + 0,1(900) + 0,02(1600) = 375 + 90 + 32 = 497$ (Correcto). Las inversiones realizadas en cada fondo fueron: - Fondo A: **7500 euros** - Fondo B: **900 euros** - Fondo C: **1600 euros** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 7500 \text{ €, } B = 900 \text{ €, } C = 1600 \text{ €}}$$