Estudio de una función racional: dominio, signo, asíntotas y extremos

**a) (0,25 puntos) Dominio de $f$.** La función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2x - 5}$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} = 2,5$$ Por lo tanto, el dominio es todo $\mathbb{R}$ menos el valor $2,5$. 💡 **Tip:** Recuerda que no se puede dividir por cero. En las funciones racionales, siempre debemos excluir los valores de $x$ que hacen que el denominador sea $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{2,5\}}$$

**b) (0,75 puntos) ¿Para qué valores de $x$ es la función positiva?** Para saber dónde la función es positiva, debemos estudiar el signo del numerador y del denominador. Los puntos críticos son las raíces de ambos: - Numerador: $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2, \, x = -2$ - Denominador: $2x - 5 = 0 \implies x = 2,5$ Analizamos los intervalos definidos por estos puntos: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 2,5)$ y $(2,5, +\infty)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,2) & 2 & (2,2,5) & 2,5 & (2,5,+\infty)\\ \hline x^2-4 & + & 0 & - & 0 & + & + & + \\ 2x-5 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline f(x) & - & 0 & + & 0 & - & \nexists & + \end{array}$$ La función es positiva en los intervalos donde el signo resultante es $+$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in (-2, 2) \cup (2,5, +\infty)}$$

**c) (1 punto) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.** **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en el punto excluido del dominio, $x = 2,5$: $$\lim_{x \to 2,5} \frac{x^2 - 4}{2x - 5} = \frac{2,5^2 - 4}{0} = \frac{2,25}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = 2,5$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 4}{2x - 5} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{2x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{2} = \pm \infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** En una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$, si el grado de $P(x)$ es exactamente uno más que el de $Q(x)$, no habrá AH pero sí habrá una asíntota oblicua.

Como no hay AH, buscamos la **Asíntota Oblicua (AO)** de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x(2x - 5)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{2x^2 - 5x} = \frac{1}{2}$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 4}{2x - 5} - \frac{1}{2}x \right)$$ Realizamos la resta de fracciones: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2(x^2 - 4) - x(2x - 5)}{2(2x - 5)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 8 - 2x^2 + 5x}{4x - 10} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 8}{4x - 10} = \frac{5}{4}$$ La asíntota oblicua es $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 2,5; \quad \text{AH: No hay}; \quad \text{AO: } y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}}$$

**d) (1,25 puntos) Sus máximos y mínimos relativos, si existen.** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(2x - 5) - (x^2 - 4)(2)}{(2x - 5)^2} = \frac{4x^2 - 10x - 2x^2 + 8}{(2x - 5)^2} = \frac{2x^2 - 10x + 8}{(2x - 5)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x^2 - 10x + 8 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x_1 = 4, \, x_2 = 1$$ 💡 **Tip:** Para que haya un extremo relativo, la derivada debe ser cero y debe haber un cambio de signo en $f'(x)$ a ambos lados del punto.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos marcados por los puntos críticos y la discontinuidad del dominio ($x=1, x=2,5, x=4$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,2,5) & 2,5 & (2,5,4) & 4 & (4,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x=1$: $f(1) = \frac{1^2 - 4}{2(1) - 5} = \frac{-3}{-3} = 1 \implies \mathbf{(1, 1)}$ es un **Máximo relativo**. - Para $x=4$: $f(4) = \frac{4^2 - 4}{2(4) - 5} = \frac{12}{3} = 4 \implies \mathbf{(4, 4)}$ es un **Mínimo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (1, 1) \text{ y Mínimo relativo en } (4, 4)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x^2-4}{2x-5}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=2.5", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y=0.5x+1.25", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(1,1)", "showLabel": true, "label": "Máximo (1,1)" }, { "id": "min", "latex": "(4,4)", "showLabel": true, "label": "Mínimo (4,4)" } ], "bounds": { "left": -5, "right": 10, "bottom": -5, "top": 10 } } }