Inferencia Estadística y Probabilidad en Oposiciones

**a) (2 puntos) Se sabe que la cantidad de hidratos de carbono de las barritas energéticas de una marca es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,5 gramos. Elegimos una muestra aleatoria simple de 75 barritas, les medimos la cantidad de hidratos de carbono y calculamos su promedio, que resulta ser igual a 23,8 gramos. Calcular el intervalo de confianza al 98% para la media de la cantidad de hidratos de carbono en las barritas de esa marca.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa la cantidad de hidratos de carbono: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1,5$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 75$. - Media muestral: $\bar{x} = 23,8$ g. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$ (es decir, un $98\%$). 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con desviación típica conocida viene dado por: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ $$\boxed{\sigma = 1,5; \quad n = 75; \quad \bar{x} = 23,8}$$

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02$. 2. $\alpha/2 = 0,01$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 0,99$. Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,99$$ El valor más cercano en las tablas suele ser para $z = 2,33$ (o interpolando, $2,326$). Utilizaremos **$z_{\alpha/2} = 2,33$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central. El valor crítico deja fuera una probabilidad de $\alpha/2$ en cada extremo. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,33}$$

Calculamos el margen de error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,33 \cdot \frac{1,5}{\sqrt{75}} = 2,33 \cdot \frac{1,5}{8,660} \approx 2,33 \cdot 0,1732 = 0,4036$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (23,8 - 0,4036; \quad 23,8 + 0,4036)$$ $$IC = (23,3964; \quad 24,2036)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{IC = (23,40; \quad 24,20)}$$ (redondeado a dos decimales).

**b) (1,5 puntos) Un opositor se sabe 28 de los 40 temas de un examen. En el examen se eligen al azar 2 de los 40 temas. ¿Cuál es la probabilidad de que el opositor se sepa los dos temas? ¿Cuál es la probabilidad de que se sepa al menos uno de los dos temas?** Definimos los eventos: - $S_i$: El opositor se sabe el tema $i$ extraído. - $N_i$: El opositor NO se sabe el tema $i$ extraído. Datos: - Temas totales: $40$. - Temas conocidos: $28$. - Temas desconocidos: $12$. Como los temas se eligen sin reposición (no se puede elegir el mismo tema dos veces), las probabilidades cambian en la segunda extracción. 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazo, el denominador disminuye en 1 para la segunda bola (o tema) y el numerador depende de lo que haya salido antes.

Para saberse los dos temas, debe ocurrir $S_1$ y $S_2$: $$p(S_1 \cap S_2) = p(S_1) \cdot p(S_2|S_1)$$ $$p(S_1 \cap S_2) = \frac{28}{40} \cdot \frac{27}{39}$$ Simplificamos las fracciones para facilitar el cálculo: $$\frac{28}{40} = \frac{7}{10}; \quad \frac{27}{39} = \frac{9}{13}$$ $$p(S_1 \cap S_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{9}{13} = \frac{63}{130} \approx 0,4846$$ ✅ **Resultado (saber ambos):** $$\boxed{p(\text{saber dos}) = \frac{63}{130} \approx 0,4846}$$

La probabilidad de saberse "al menos uno" es la complementaria de "no saberse ninguno". 1. Calculamos la probabilidad de no saberse ninguno ($N_1$ y $N_2$): $$p(N_1 \cap N_2) = p(N_1) \cdot p(N_2|N_1) = \frac{12}{40} \cdot \frac{11}{39}$$ $$\frac{12}{40} = \frac{3}{10}$$ $$p(N_1 \cap N_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{11}{39} = \frac{1}{10} \cdot \frac{11}{13} = \frac{11}{130}$$ 2. Aplicamos el complementario: $$p(\text{al menos uno}) = 1 - p(N_1 \cap N_2)$$ $$p(\text{al menos uno}) = 1 - \frac{11}{130} = \frac{130 - 11}{130} = \frac{119}{130} \approx 0,9154$$ 💡 **Tip:** Calcular la probabilidad de "al menos uno" mediante el suceso contrario ($1 - p(\text{ninguno})$) suele ser mucho más rápido que sumar todas las posibilidades favorables. ✅ **Resultado (al menos uno):** $$\boxed{p(\text{al menos uno}) = \frac{119}{130} \approx 0,9154}$$