Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuaciones matriciales

**a) (0,5 puntos) ¿Se puede calcular $AB$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué.** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. - La matriz $A$ tiene dimensiones $2 \times 3$ (2 filas y 3 columnas). - La matriz $B$ tiene dimensiones $3 \times 3$ (3 filas y 3 columnas). Como el número de columnas de $A$ (3) es igual al número de filas de $B$ (3), **el producto $AB$ sí se puede calcular** y el resultado será una matriz de dimensiones $2 \times 3$. Calculamos los elementos fila a fila: $$(AB)_{11} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) = 3 + 2 + 0 = 5$$ $$(AB)_{12} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 0 + 1 + 0 = 1$$ $$(AB)_{13} = 3 \cdot 5 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 15 - 1 + 0 = 14$$ $$(AB)_{21} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = -1 + 4 - 3 = 0$$ $$(AB)_{22} = (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 0 + 2 + 12 = 14$$ $$(AB)_{23} = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = -5 - 2 + 0 = -7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace "fila por columna". ✅ **Resultado:** $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 14 \\ 0 & 14 & -7 \end{pmatrix}}$$

**b) (0,5 puntos) ¿Se puede calcular $BA$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué.** Analizamos las dimensiones de las matrices: - La matriz $B$ es de orden $3 \times 3$. - La matriz $A$ es de orden $2 \times 3$. Para calcular $BA$, el número de columnas de $B$ (que es 3) debería ser igual al número de filas de $A$ (que es 2). Como $3 \neq 2$, el producto **no se puede realizar**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede calcular } BA \text{ porque el nº de columnas de } B \text{ no coincide con el nº de filas de } A.}$$

**c) (1,25 puntos) Calcular, si existe, la matriz inversa de $C$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|C| \neq 0$). Calculamos el determinante de $C$ por la regla de Sarrus: $$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$|C| = (1 \cdot 3 \cdot 0) + (-1 \cdot 1 \cdot (-5)) + (0 \cdot 2 \cdot 2) - [0 \cdot 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$|C| = (0 + 5 + 0) - (0 + 2 + 0) = 5 - 2 = 3$$ Como $|C| = 3 \neq 0$, la matriz **$C$ es regular y posee inversa ($C^{-1}$)**. 💡 **Tip:** Si un determinante tiene muchos ceros, es más rápido desarrollar por la fila o columna que más ceros tenga. En este caso, la tercera columna.

Para hallar $C^{-1}$ usamos la fórmula: $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \cdot (\text{Adj}(C))^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-5)) = -5$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} = 4 - (-15) = 19$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 5) = 3$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-2) = 5$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -2 & -5 & 19 \\ 0 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ -5 & 0 & -1 \\ 19 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$ Dividimos por $|C| = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{C^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ -5 & 0 & -1 \\ 19 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 & 0 & -1/3 \\ -5/3 & 0 & -1/3 \\ 19/3 & 1 & 5/3 \end{pmatrix}}$$

**d) (1 punto) Encontrar, si existe, una matriz $X$ tal que $2C + 4X = 3D$.** Despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$4X = 3D - 2C \implies X = \frac{1}{4}(3D - 2C)$$ Calculamos primero $3D$ y $2C$: $$3D = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 6 & 9 & 0 \\ 3 & -3 & 6 \end{pmatrix}$$ $$2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & 6 & 2 \\ -10 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos las matrices: $$3D - 2C = \begin{pmatrix} 3-2 & 0-(-2) & 12-0 \\ 6-4 & 9-6 & 0-2 \\ 3-(-10) & -3-4 & 6-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 12 \\ 2 & 3 & -2 \\ 13 & -7 & 6 \end{pmatrix}$$ Finalmente multiplicamos por $1/4$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/2 & 3 \\ 1/2 & 3/4 & -1/2 \\ 13/4 & -7/4 & 3/2 \end{pmatrix}}$$