Optimización de beneficios por ventas

**a) (0,75 puntos) Encontrar, si existe, el valor o valores de $x$ para los cuales los ingresos por ventas son iguales a 18 millones de euros.** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de ingresos $V(x)$ a 18 y despejar la variable $x$ (gasto en publicidad). $$V(x) = 18 \implies \frac{21x + 12}{x + 1} = 18$$ Multiplicamos ambos lados por $(x + 1)$ para eliminar el denominador: $$21x + 12 = 18(x + 1)$$ $$21x + 12 = 18x + 18$$ Ahora, agrupamos los términos con $x$ en un lado y los términos independientes en el otro: $$21x - 18x = 18 - 12$$ $$3x = 6$$ $$x = \frac{6}{3} = 2$$ El valor obtenido es $x = 2$, que pertenece al dominio razonable del problema (gasto positivo). 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar ecuaciones con fracciones, el denominador no puede ser cero. En este caso $x+1=0 \implies x=-1$, pero como $x$ representa un gasto, siempre será $x \ge 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 \text{ millones de euros}}$$

**b) (1 punto) Calcular $\lim_{x \to +\infty} V(x)$. ¿Cómo se puede interpretar el resultado?** Calculamos el límite de la función racional cuando el gasto en publicidad crece indefinidamente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{21x + 12}{x + 1}$$ Como tenemos un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{21x + 12}{x + 1} = \frac{21}{1} = 21$$ **Interpretación:** Esto significa que la función tiene una **asíntota horizontal** en $y = 21$. En el contexto del problema, por mucho que la empresa aumente su gasto en publicidad, los ingresos por ventas nunca superarán los 21 millones de euros; se estabilizarán en torno a ese valor. 💡 **Tip:** Para límites al infinito de funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$, si $grado(P) = grado(Q)$, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} V(x) = 21 \text{ millones de euros. Los ingresos tienden a estabilizarse en 21 millones.}}$$

**c) (1,5 puntos) Si definimos el beneficio por ventas como la diferencia entre los ingresos por ventas y el gasto en publicidad (esto es, $B(x) = V(x) - x$), calcular el máximo beneficio que se puede alcanzar cuando $x \in [0, 5]$.** Primero, construimos la función beneficio $B(x)$ simplificando la expresión: $$B(x) = \frac{21x + 12}{x + 1} - x$$ $$B(x) = \frac{21x + 12 - x(x + 1)}{x + 1} = \frac{21x + 12 - x^2 - x}{x + 1}$$ $$B(x) = \frac{-x^2 + 20x + 12}{x + 1}$$ Para hallar el máximo en el intervalo cerrado $[0, 5]$, debemos encontrar los puntos críticos derivando e igualando a cero. 💡 **Tip:** El beneficio es la ganancia neta. No basta con tener muchos ingresos si el gasto en publicidad es demasiado elevado.

Aplicamos la regla del cociente para derivar $B(x) = \frac{u}{v} \implies B'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Sean $u = -x^2 + 20x + 12 \implies u' = -2x + 20$ Sean $v = x + 1 \implies v' = 1$ $$B'(x) = \frac{(-2x + 20)(x + 1) - (-x^2 + 20x + 12)(1)}{(x + 1)^2}$$ $$B'(x) = \frac{-2x^2 - 2x + 20x + 20 + x^2 - 20x - 12}{(x + 1)^2}$$ $$B'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 8}{(x + 1)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-x^2 - 2x + 8 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $x_1 = 2$ y $x_2 = -4$. Como estamos estudiando el intervalo $[0, 5]$, solo nos interesa **$x = 2$**.

Estudiamos el signo de $B'(x)$ en el intervalo $[0, 5]$ para confirmar si $x=2$ es un máximo. Dado que el denominador $(x+1)^2$ es siempre positivo, el signo de $B'(x)$ depende solo del numerador $-x^2 - 2x + 8$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, 5)\\\hline B'(x) & + & 0 & -\\\hline B(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ Calculamos los valores de $B(x)$ en el punto crítico y en los extremos del intervalo para comparar: 1. En el extremo izquierdo: $B(0) = \frac{12}{1} = 12$ 2. En el punto crítico: $B(2) = \frac{-(2)^2 + 20(2) + 12}{2 + 1} = \frac{-4 + 40 + 12}{3} = \frac{48}{3} = 16$ 3. En el extremo derecho: $B(5) = \frac{-(5)^2 + 20(5) + 12}{5 + 1} = \frac{-25 + 100 + 12}{6} = \frac{87}{6} = 14.5$ 💡 **Tip:** En un intervalo cerrado, el máximo absoluto puede estar en un punto crítico o en los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo beneficio es de 16 millones de euros y se alcanza con un gasto de } x = 2 \text{ millones.}}$$