Probabilidad y Estadística 2017 Aragon
Distribución de Estudiantes en Grados y Grupos
3. (3,5 puntos) En la Facultad de Economía de una universidad se pueden estudiar 3 grados: Grado en Contabilidad, Grado en Economía y Grado en Empresariales. En todos los grados hay un grupo de mañana y un grupo de tarde. La distribución de los estudiantes en cada uno de los grados, según grupo de mañana y de tarde es:
| | Grado en Contabilidad | Grado en Economía | Grado en Empresariales |
|---|:---:|:---:|:---:|
| Mañana | 395 | 278 | 538 |
| Tarde | 240 | 306 | 486 |
a) (0,5 puntos) Se elige al azar un estudiante de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del grupo de tarde del Grado en Contabilidad?
b) (0,75 puntos) Se elige al azar un estudiante del grupo de tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Grado en Contabilidad?
c) (0,75 puntos) Se elige al azar un estudiante de la Facultad. Sea A el suceso “Es del Grado en Contabilidad” y B el suceso “Es del grupo de tarde”, ¿son independientes los sucesos A y B?
d) (0,75 puntos) Se eligen al azar dos estudiantes distintos de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del grupo de tarde?
e) (0,75 puntos) Se eligen al azar dos estudiantes distintos de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo Grado?
Paso 1
Organizar los datos en una tabla de contingencia
Para resolver este tipo de problemas, el primer paso fundamental es completar la tabla con los totales de cada fila y cada columna. Esto nos permitirá conocer el número total de estudiantes en la facultad y en cada subgrupo.
Calculamos los totales:
- **Total Contabilidad (C):** $395 + 240 = 635$
- **Total Economía (E):** $278 + 306 = 584$
- **Total Empresariales (B):** $538 + 486 = 1024$
- **Total Mañana (M):** $395 + 278 + 538 = 1211$
- **Total Tarde (T):** $240 + 306 + 486 = 1032$
- **Total Estudiantes:** $1211 + 1032 = 2243$
La tabla de contingencia completa queda así:
$$\begin{array}{r|ccc|c}
& \text{Contabilidad (C)} & \text{Economía (E)} & \text{Empresariales (B)} & \text{Total}\\ \hline
\text{Mañana (M)} & 395 & 278 & 538 & 1211\\
\text{Tarde (T)} & 240 & 306 & 486 & 1032\\ \hline
\text{Total} & 635 & 584 & 1024 & 2243
\end{array}$$
💡 **Tip:** En probabilidad, tener claros los totales (el espacio muestral) es la clave para aplicar correctamente la Regla de Laplace.
Paso 2
Probabilidad de ser de tarde y de Contabilidad
**a) (0,5 puntos) Se elige al azar un estudiante de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del grupo de tarde del Grado en Contabilidad?**
Nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que sea de Tarde ($T$) y de Contabilidad ($C$). Utilizamos la Regla de Laplace:
$$P(T \cap C) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$
- Casos favorables (estudiantes de tarde y Contabilidad): $240$
- Casos posibles (total de estudiantes): $2243$
$$P(T \cap C) = \frac{240}{2243} \approx 0.1070$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T \cap C) = \frac{240}{2243} \approx 0.1070}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada
**b) (0,75 puntos) Se elige al azar un estudiante del grupo de tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Grado en Contabilidad?**
En este caso, se trata de una **probabilidad condicionada**, ya que sabemos de antemano que el estudiante es del grupo de tarde. El espacio muestral se reduce solo a los alumnos de tarde.
$$P(C | T) = \frac{P(C \cap T)}{P(T)} = \frac{\text{Alumnos de Contabilidad y Tarde}}{\text{Total alumnos de Tarde}}$$
- Casos favorables: $240$
- Casos posibles (Total Tarde): $1032$
$$P(C | T) = \frac{240}{1032}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 24:
$$P(C | T) = \frac{10}{43} \approx 0.2326$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ significa "probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B". El denominador siempre es el número de casos del suceso que ya conocemos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C | T) = \frac{10}{43} \approx 0.2326}$$
Paso 4
Estudio de la independencia de sucesos
**c) (0,75 puntos) Se elige al azar un estudiante de la Facultad. Sea A el suceso “Es del Grado en Contabilidad” y B el suceso “Es del grupo de tarde”, ¿son independientes los sucesos A y B?**
Dos sucesos son independientes si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
Calculamos cada término:
1. $P(A \cap B) = P(C \cap T) = \dfrac{240}{2243} \approx 0.1070$
2. $P(A) = P(C) = \dfrac{635}{2243} \approx 0.2831$
3. $P(B) = P(T) = \dfrac{1032}{2243} \approx 0.4601$
Calculamos el producto:
$$P(A) \cdot P(B) = \frac{635}{2243} \cdot \frac{1032}{2243} = \frac{655320}{5031049} \approx 0.1303$$
Comparamos:
$$0.1070 \neq 0.1303 \implies P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$$
Como no son iguales, los sucesos son **dependientes**.
💡 **Tip:** Otra forma de verlo es comparar $P(A|B)$ con $P(A)$. Si $P(C|T) = P(C)$, serían independientes. Aquí $0.2326 \neq 0.2831$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Los sucesos A y B son dependientes}}$$
Paso 5
Probabilidad de dos sucesos sin reemplazamiento
**d) (0,75 puntos) Se eligen al azar dos estudiantes distintos de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del grupo de tarde?**
Al decir "estudiantes distintos", estamos ante un muestreo **sin reemplazamiento**. La probabilidad del segundo estudiante depende de quién fue el primero.
Sea $T_1$ el suceso "el primer estudiante es de tarde" y $T_2$ "el segundo es de tarde".
$$P(T_1 \cap T_2) = P(T_1) \cdot P(T_2 | T_1)$$
- Probabilidad del primero: $\dfrac{1032}{2243}$
- Probabilidad del segundo (quedan 1031 alumnos de tarde y 2242 alumnos en total): $\dfrac{1031}{2242}$
$$P(T_1 \cap T_2) = \frac{1032}{2243} \cdot \frac{1031}{2242} = \frac{1063992}{5028806} \approx 0.2116$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{ambos de tarde}) \approx 0.2116}$$
Paso 6
Probabilidad de que sean del mismo grado
**e) (0,75 puntos) Se eligen al azar dos estudiantes distintos de la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo Grado?**
Para que sean del mismo grado, ambos deben ser de Contabilidad (CC), o ambos de Economía (EE), o ambos de Empresariales (BB). Como son sucesos incompatibles, sumamos sus probabilidades.
$$P(\text{Mismo Grado}) = P(CC) + P(EE) + P(BB)$$
Calculamos cada uno sin reemplazamiento:
- $P(CC) = \dfrac{635}{2243} \cdot \dfrac{634}{2242} = \dfrac{402590}{5028806}$
- $P(EE) = \dfrac{584}{2243} \cdot \dfrac{583}{2242} = \dfrac{340472}{5028806}$
- $P(BB) = \dfrac{1024}{2243} \cdot \dfrac{1023}{2242} = \dfrac{1047552}{5028806}$
Sumamos las fracciones:
$$P(\text{Mismo Grado}) = \frac{402590 + 340472 + 1047552}{5028806} = \frac{1790614}{5028806} \approx 0.3561$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Mismo Grado}) \approx 0.3561}$$