Álgebra 2017 Aragon
Minimización de costes mediante programación lineal
1. (3,25 puntos) Una asociación está organizando un viaje a un parque temático para sus socios. Para comprar las entradas, la asociación ha llegado a un acuerdo con la dirección del parque, de forma que puede comprar dos tipos de entradas, “Grupal-A” y “Grupal-B” con las siguientes características:
• Cada entrada de tipo “Grupal-A” permite entrar al parque a 2 adultos y 3 niños, y cuesta 85 euros.
• Cada entrada de tipo “Grupal-B” permite entrar al parque a 4 adultos y 12 niños, y cuesta 230 euros.
• Deben comprarse, al menos, 4 entradas de tipo “Grupal-A” y 2 entradas de tipo “Grupal-B”.
La asociación quiere que entren al parque, al menos, 40 adultos y 96 niños. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántas entradas de cada tipo “Grupal-A” y “Grupal-B” debe comprar para minimizar el coste total. ¿Cuál es el valor de ese coste mínimo?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos calcular y qué queremos optimizar.
**Variables del problema:**
- $x$: Número de entradas de tipo “Grupal-A”.
- $y$: Número de entradas de tipo “Grupal-B”.
**Función objetivo (a minimizar):**
El coste total de las entradas viene dado por el precio de cada tipo multiplicado por la cantidad comprada:
$$C(x, y) = 85x + 230y$$
💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar las cantidades que podemos decidir para alcanzar nuestro objetivo.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas:
1. **Mínimo de entradas A:** Al menos 4 entradas de tipo A $\implies x \ge 4$.
2. **Mínimo de entradas B:** Al menos 2 entradas de tipo B $\implies y \ge 2$.
3. **Capacidad de adultos:** Deben entrar al menos 40 adultos. Como la entrada A admite a 2 y la B a 4:
$$2x + 4y \ge 40 \implies x + 2y \ge 20$$
4. **Capacidad de niños:** Deben entrar al menos 96 niños. La entrada A admite a 3 y la B a 12:
$$3x + 12y \ge 96 \implies x + 4y \ge 32$$
5. **No negatividad:** Como son entradas físicas, $x, y \ge 0$ (aunque ya están cubiertas por las restricciones 1 y 2).
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor ayuda a trabajar con números más pequeños al dibujar las rectas.
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles:
- $r_1: x = 4$
- $r_2: y = 2$
- $r_3: x + 2y = 20$ (Pasa por $(0,10)$ y $(20,0)$)
- $r_4: x + 4y = 32$ (Pasa por $(0,8)$ y $(32,0)$)
La región factible es el área sombreada donde se cumplen todas las condiciones simultáneamente.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región. Evaluamos las intersecciones:
- **Vértice A:** Intersección de $x = 4$ y $x + 2y = 20$.
Sustituimos $x$: $4 + 2y = 20 \implies 2y = 16 \implies y = 8$.
$$\mathbf{A(4, 8)}$$
- **Vértice B:** Intersección de $x + 2y = 20$ y $x + 4y = 32$.
Restamos las ecuaciones:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 32 - 20 \implies 2y = 12 \implies y = 6$.
Sustituimos $y$ en la primera: $x + 2(6) = 20 \implies x + 12 = 20 \implies x = 8$.
$$\mathbf{B(8, 6)}$$
- **Vértice C:** Intersección de $y = 2$ y $x + 4y = 32$.
Sustituimos $y$: $x + 4(2) = 32 \implies x + 8 = 32 \implies x = 24$.
$$\mathbf{C(24, 2)}$$
💡 **Tip:** Un vértice es la intersección de dos fronteras. Siempre verifica que el punto resultante cumpla el resto de inecuaciones.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución
Para minimizar el coste, evaluamos la función $C(x, y) = 85x + 230y$ en cada uno de los vértices hallados:
1. **Para A(4, 8):**
$C(4, 8) = 85(4) + 230(8) = 340 + 1840 = 2180$ €
2. **Para B(8, 6):**
$C(8, 6) = 85(8) + 230(6) = 680 + 1380 = 2060$ €
3. **Para C(24, 2):**
$C(24, 2) = 85(24) + 230(2) = 2040 + 460 = 2500$ €
Comparando los valores, el coste mínimo es de **2060 euros**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se deben comprar 8 entradas Grupal-A y 6 entradas Grupal-B. El coste mínimo es de 2060 euros.}}$$