Continuidad, extremos absolutos e integrales en funciones a trozos

**a) (0,75 puntos) Calcular $a$ sabiendo que $f$ es continua en $x = -1$.** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$ 2. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ En nuestro caso, evaluamos en $x = -1$: - **Límite por la izquierda ($x \lt -1$):** $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (ax + 2) = a(-1) + 2 = -a + 2$$ - **Límite por la derecha y valor en el punto ($x \geq -1$):** $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = 18 - 4(-1) + (-1)^2 = 18 + 4 + 1 = 23$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$-a + 2 = 23 \implies -a = 23 - 2 \implies -a = 21 \implies a = -21$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en funciones a trozos, la continuidad se estudia analizando si las "ramas" se encuentran en el mismo valor de $y$ en los puntos de cambio de intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -21}$$

**b) (1,5 puntos) Calcular el máximo valor que toma la función $f$ para $x \in [4, 8]$.** El intervalo $[4, 8]$ se encuentra totalmente contenido en la tercera rama de la función, ya que $4 \gt 3$ y $8 \gt 3$. Por tanto, trabajaremos con: $$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 20 \quad \text{para } x \in [4, 8]$$ Para hallar el máximo absoluto en un intervalo cerrado, debemos comparar los valores de la función en: 1. Los extremos del intervalo ($x=4$ y $x=8$). 2. Los puntos críticos (donde $f'(x)=0$) que pertenezcan al intervalo. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$3x^2 - 18x + 15 = 0 \implies x^2 - 6x + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $x_1 = 5$ y $x_2 = 1$. 💡 **Tip:** El punto $x = 1$ no pertenece al intervalo $[4, 8]$, por lo que lo descartamos para este análisis. Solo tendremos en cuenta **$x = 5$**.

Estudiamos el signo de la primera derivada en el intervalo de interés para entender el comportamiento de la función: $$\begin{array}{c|ccccc} x & [4, 5) & 5 & (5, 8] \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $(4, 5)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es decreciente. - En $(5, 8)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es creciente. Esto nos indica que el **máximo valor** debe estar en uno de los dos extremos del intervalo ($x=4$ o $x=8$). Evaluamos la función en los puntos candidatos: - Para $x = 4$: $$f(4) = 4^3 - 9(4^2) + 15(4) + 20 = 64 - 144 + 60 + 20 = 0$$ - Para $x = 5$ (mínimo relativo): $$f(5) = 5^3 - 9(5^2) + 15(5) + 20 = 125 - 225 + 75 + 20 = -5$$ - Para $x = 8$: $$f(8) = 8^3 - 9(8^2) + 15(8) + 20 = 512 - 576 + 120 + 20 = 76$$ Comparando los valores $\{0, -5, 76\}$, el valor máximo es 76. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo valor es } 76 \text{ (se alcanza en } x = 8)}$$

**c) (1 punto) Calcular: $\int_{1}^{2} f(x) dx$** El intervalo de integración $[1, 2]$ está comprendido entre $-1$ y $3$. Por tanto, debemos utilizar la segunda rama de la función: $$f(x) = 18 - 4x + x^2$$ Planteamos la integral: $$\int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 18) dx$$ Calculamos la primitiva término a término: $$F(x) = \int (x^2 - 4x + 18) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 18x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 18x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{1}^{2} f(x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 18x \right]_{1}^{2}$$ Sustituimos los límites: - Para $x = 2$: $$F(2) = \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 18(2) = \frac{8}{3} - 8 + 36 = \frac{8}{3} + 28 = \frac{8 + 84}{3} = \frac{92}{3}$$ - Para $x = 1$: $$F(1) = \frac{1^3}{3} - 2(1^2) + 18(1) = \frac{1}{3} - 2 + 18 = \frac{1}{3} + 16 = \frac{1 + 48}{3} = \frac{49}{3}$$ Restamos los valores: $$I = F(2) - F(1) = \frac{92}{3} - \frac{49}{3} = \frac{43}{3}$$ 💡 **Tip:** No olvides que al integrar un polinomio $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{43}{3} \approx 14,33}$$