Inferencia estadística y probabilidad

**a1) (1,75 puntos) Queremos construir un intervalo de confianza al 98% para la media de la duración de las bombillas del fabricante, de forma que el error no sea mayor de 15 horas. ¿Qué tamaño de la muestra debemos tomar?** Identificamos los datos del problema: - Variable $X$: duración de las bombillas (horas). - Distribución: $X \sim N(\mu, 75)$, por lo que la desviación típica poblacional es $\sigma = 75$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$. - Error máximo permitido: $E = 15$. Primero, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $98\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0,98$, entonces $\alpha = 0,02$. 2. Dividimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,01$. 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. Mirando las tablas de la normal $N(0,1)$, el valor más cercano a $0,99$ es $z_{\alpha/2} = 2,33$ (o interpolando $2,326$). 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites de la zona central que contiene el porcentaje de probabilidad deseado. Para el $98\%$, dejamos un $1\%$ fuera por cada lado.

Utilizamos la fórmula del error máximo admisible para la media: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos ($E=15$, $z_{\alpha/2}=2,33$, $\sigma=75$) y despejamos $n$: $$15 = 2,33 \cdot \frac{75}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{2,33 \cdot 75}{15}$$ $$\sqrt{n} = 2,33 \cdot 5 = 11,65$$ $$n = (11,65)^2 = 135,7225$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y el error no debe superar las 15 horas, debemos redondear siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 136 \text{ bombillas}}$$

**a2) (1 punto) Decidimos tomar un tamaño de la muestra igual a 150, comprobamos la duración de cada bombilla y calculamos su promedio, que resulta ser 1053 horas. Calcular el intervalo de confianza al 98% para la media de la duración de las bombillas del fabricante.** Nuevos datos: - Tamaño de muestra: $n = 150$. - Media muestral: $\bar{x} = 1053$. - Desviación típica: $\sigma = 75$. - Valor crítico (ya calculado): $z_{\alpha/2} = 2,33$. Calculamos primero el error para esta muestra específica: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,33 \cdot \frac{75}{\sqrt{150}} \approx 2,33 \cdot \frac{75}{12,247} \approx 14,268$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (1053 - 14,268; \, 1053 + 14,268)$$ $$I.C. = (1038,732; \, 1067,268)$$ 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, menor es el error y más estrecho (preciso) es el intervalo de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{98\%} = (1038,73; \, 1067,27)}$$

**b) (0,75 puntos) Sean $A$ y $B$ sucesos tales que $P(A) = 0,6$, $P(B/A) = 0,9$ y $P(B) = 0,8$. Calcular $P(A \cap B)$, $P(A \cup B)$ y $P(A/B)$.** 1. **Cálculo de la intersección $P(A \cap B)$**: Usamos la definición de probabilidad condicionada: $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = 0,6 \cdot 0,9 = 0,54$$ 2. **Cálculo de la unión $P(A \cup B)$**: Usamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,6 + 0,8 - 0,54 = 1,4 - 0,54 = 0,86$$ 3. **Cálculo de la condicionada $P(A/B)$**: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,54}{0,8} = 0,675$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cap B)$ es la probabilidad de que ocurran ambos a la vez, mientras que $P(A \cup B)$ es la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos. ✅ **Resultados:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0,54; \quad P(A \cup B) = 0,86; \quad P(A/B) = 0,675}$$