Ecuación matricial y propiedades de los determinantes

**A. [3 PUNTOS] Resolver la ecuación matricial $(A+X)B = C$ con $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}$** Primero, debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación $(A+X)B = C$. Para ello, multiplicamos por la derecha por la inversa de $B$ (si existe, es decir, si $|B| \neq 0$): $$(A+X)B \cdot B^{-1} = C \cdot B^{-1}$$ Como $B \cdot B^{-1} = I$ (la matriz identidad): $$A + X = C \cdot B^{-1}$$ Despejamos $X$ restando $A$ en ambos miembros: $$X = C \cdot B^{-1} - A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones matriciales el orden de los factores importa. Al multiplicar por $B^{-1}$ por la derecha en el miembro izquierdo, debemos hacerlo también por la derecha en el miembro derecho.

Para comprobar si $B$ tiene inversa y poder calcularla, hallamos su determinante $|B|$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [ (1 \cdot 1 \cdot 3) + (-2 \cdot 2 \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot 1) ] - [ (0 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot 1) + (-2 \cdot 1 \cdot 3) ]$$ $$|B| = [ 3 + 0 + 0 ] - [ 0 + 2 - 6 ] = 3 - (-4) = 7$$ Como $|B| = 7 \neq 0$, la matriz $B$ es invertible y existe **$B^{-1}$**.

Calculamos la matriz inversa utilizando la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$. Calculamos primero los adjuntos de cada elemento: - $B_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1$; $B_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $B_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $B_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6$; $B_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3$; $B_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $B_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$; $B_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2$; $B_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ La matriz de adjuntos es $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 6 & 3 & -1 \\ -4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$, por lo que su traspuesta es: $$\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -4 \\ -3 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Entonces, la inversa es: $$B^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 6 & -4 \\ -3 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Calculamos ahora el término $C \cdot B^{-1}$: $$C \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 6 & -4 \\ -3 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$C \cdot B^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 0-3+3 & 0+3-3 & 0-2+9 \\ 4-3-1 & 24+3+1 & -16-2-3 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 7 \\ 0 & 28 & -21 \end{pmatrix}$$ $$C \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Puedes sacar el escalar $1/7$ fuera de la multiplicación para operar con números enteros y solo aplicarlo al final.

Finalmente, calculamos $X = (C \cdot B^{-1}) - A$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0-1 & 0-(-2) & 1-1 \\ 0-3 & 4-2 & -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & -3 \end{pmatrix}}$$

**B1. [0,25 PUNTOS] Calcular $\begin{vmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{vmatrix}$ sabiendo que $|M| = 8$ con $M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$.** Observamos que la matriz de la que queremos calcular el determinante es exactamente la traspuesta de la matriz $M$, ya que las filas de $M$ se han convertido en las columnas de la nueva matriz. Una de las propiedades fundamentales de los determinantes establece que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: $|M| = |M^t|$. Por lo tanto: $$\begin{vmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{vmatrix} = |M^t| = |M| = 8$$ ✅ **Resultado B1:** $$\boxed{8}$$

**B2. [0,25 PUNTOS] Calcular $\begin{vmatrix} 4a & -3b & c \\ 4d & -3e & f \\ 4g & -3h & i \end{vmatrix}$** Para resolver este determinante, aplicamos la propiedad que dice: *si se multiplica una línea (fila o columna) de una matriz por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número*. 1. En la primera columna tenemos el factor común $4$. Lo sacamos fuera del determinante: $$\begin{vmatrix} 4a & -3b & c \\ 4d & -3e & f \\ 4g & -3h & i \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} a & -3b & c \\ d & -3e & f \\ g & -3h & i \end{vmatrix}$$ 2. En la segunda columna tenemos el factor común $-3$. Lo sacamos fuera: $$4 \cdot (-3) \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -12 \cdot |M|$$ 3. Sustituimos el valor de $|M| = 8$: $$-12 \cdot 8 = -96$$ 💡 **Tip:** No confundas esta propiedad (multiplicar una sola línea) con multiplicar toda la matriz por un número $k$, donde el determinante quedaría multiplicado por $k^n$ (siendo $n$ el orden de la matriz). ✅ **Resultado B2:** $$\boxed{-96}$$