Optimización de ganancias y cálculo de parámetros en asíntotas

**A. [1,75 PUNTOS] El representante de una firma de perfumes tiene un sueldo fijo mensual de 1500 euros. También recibe una comisión, $-0.05x^2 + 0.7x + 30$, que depende del número de tiendas, $x$, que incluye al mes en su cartera de clientes. Por otro lado, sus gastos fijos mensuales ascienden a 425 euros. ¿Cuántas tiendas debería incorporar al mes para obtener una ganancia máxima?** Primero, definimos la función de ganancia total $G(x)$, donde $x$ representa el número de tiendas incorporadas. La ganancia es el sueldo fijo más la comisión menos los gastos fijos: $$G(x) = \text{Sueldo Fijo} + \text{Comisión}(x) - \text{Gastos Fijos}$$ Sustituimos los datos del enunciado: $$G(x) = 1500 + (-0.05x^2 + 0.7x + 30) - 425$$ $$G(x) = -0.05x^2 + 0.7x + (1500 + 30 - 425)$$ $$G(x) = -0.05x^2 + 0.7x + 1105$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización de beneficios, recuerda siempre restar los costes o gastos fijos a los ingresos totales.

Para hallar el máximo de la función de ganancia $G(x)$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero (puntos críticos): $$G'(x) = \frac{d}{dx}(-0.05x^2 + 0.7x + 1105)$$ $$G'(x) = -0.1x + 0.7$$ Igualamos la derivada a cero: $$-0.1x + 0.7 = 0 \implies 0.1x = 0.7 \implies x = \frac{0.7}{0.1} = 7$$ El posible valor óptimo es **$x = 7$** tiendas.

Para confirmar que en $x = 7$ existe un máximo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$G''(x) = -0.1$$ Como $G''(7) = -0.1 \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que confirma la existencia de un **máximo**. También podemos observar el signo de la derivada a ambos lados del punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 7) & 7 & (7, +\infty)\\\hline G'(x) & + & 0 & -\\\hline \text{Monotonía} & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debería incorporar } 7 \text{ tiendas al mes para obtener la ganancia máxima}}$$

**B. [1,75 PUNTOS] La gráfica de la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 5}{2x - 7}$ tiene como asíntota la recta $y = 2x - 3$. Determinar los valores de los parámetros $a$ y $b$.** Sabemos que una función racional tiene una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$ si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador. Los coeficientes de la recta $y = 2x - 3$ son: - Pendiente: $m = 2$ - Ordenada en el origen: $n = -3$ 💡 **Tip:** Las fórmulas para calcular $m$ y $n$ en una asíntota oblicua son: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \qquad n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$$

Aplicamos la fórmula para la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + bx + 5}{2x - 7}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + 5}{2x^2 - 7x}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + 5}{2x^2 - 7x} = \frac{a}{2}$$ Dado que sabemos que $m = 2$, igualamos: $$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 4}$$

Ahora aplicamos la fórmula para la ordenada en el origen $n$, sustituyendo ya el valor de $a=4$: $$n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{4x^2 + bx + 5}{2x - 7} - 2x \right]$$ Operamos para obtener una sola fracción: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + bx + 5 - 2x(2x - 7)}{2x - 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + bx + 5 - 4x^2 + 14x}{2x - 7}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{(b + 14)x + 5}{2x - 7}$$ Nuevamente, al ser grados iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de $x$: $$n = \frac{b + 14}{2}$$ Como sabemos que $n = -3$, igualamos: $$\frac{b + 14}{2} = -3 \implies b + 14 = -6 \implies b = -20$$ ✅ **Resultado final del apartado B:** $$\boxed{a = 4, \quad b = -20}$$