Intervalo de confianza y tamaño muestral para el peso de manzanas

**A. [1,5 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 92 % para el peso medio.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Población: Distribución Normal $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 25)$. - Tamaño de la muestra: $n = 150$. - Media muestral: $\bar{x} = 227$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Como $1 - \alpha = 0.92$, entonces $\alpha = 0.08$ y $\alpha/2 = 0.04$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ el valor que deja una probabilidad acumulada de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96.$$ Buscando en la tabla, vemos que para una probabilidad de $0.96$, el valor más cercano es $1.75$ (que corresponde a $0.9599$). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la campana de Gauss, repartiendo $\alpha/2$ en cada extremo.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.75 \cdot \frac{25}{\sqrt{150}} = 1.75 \cdot \frac{25}{12.2474} \approx 1.75 \cdot 2.0412 \approx 3.5721.$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $227 - 3.5721 = 223.4279$ - Límite superior: $227 + 3.5721 = 230.5721$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C._{92\%} = (223.43, 230.57)}$$

**B. [1,5 PUNTOS] Determinar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98 % sea un tercio del obtenido en el apartado anterior.** En el apartado anterior, el error obtenido fue $E_A = 3.5721$. El enunciado nos pide que el nuevo error ($E_B$) sea un tercio de este: $$E_B = \frac{E_A}{3} = \frac{3.5721}{3} = 1.1907.$$ Además, el nivel de confianza cambia al $98 \%$. Necesitamos un nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$. 💡 **Tip:** Recuerda que al aumentar el nivel de confianza, el valor de $z_{\alpha/2}$ aumenta, lo que tendería a aumentar el error si no cambiamos el tamaño de la muestra.

Para un nivel de confianza del $98 \%$: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \alpha/2 = 0.01$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99.$$ En la tabla de la normal estándar, el valor para $0.99$ está entre $2.32$ ($0.9898$) y $2.33$ ($0.9901$). Tomamos el más cercano: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los nuevos valores: $$n = \left( \frac{2.33 \cdot 25}{1.1907} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{58.25}{1.1907} \right)^2 \approx (48.9208)^2 \approx 2393.24.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el **tamaño mínimo** para que el error sea **como máximo** el indicado, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 2394 \text{ manzanas}}$$