Álgebra 2017 Cantabria
Optimización de beneficios en fabricación de mobiliario
Ejercicio 1 [3,5 PUNTOS] Considérese una pequeña empresa dedicada a la fabricación de mobiliario. En concreto, produce dos modelos de armario: A y B. Se dispone de 12 carpinteros para ensamblar los muebles, cada uno de ellos con una jornada laboral de 8 horas diarias.
El tiempo de ensamblado de cada tipo de mueble y los beneficios obtenidos por la venta de cada unidad se muestran en la tabla adjunta:
$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
& \text{Tiempo de ensamblado} & \text{Beneficios} \\
\hline
\text{Una unidad del modelo A} & 3 \text{ horas} & 70 \text{ euros} \\
\hline
\text{Una unidad del modelo B} & 6 \text{ horas} & 160 \text{ euros} \\
\hline
\end{array}$$
La producción diaria total debe ser de 15 unidades como mínimo, con la condición de que el número de unidades del modelo B debe ser como máximo la mitad del número de muebles del modelo A.
Si la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántos armarios de cada modelo deben producirse al día para obtener los máximos beneficios diarios?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**Si la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántos armarios de cada modelo deben producirse al día para obtener los máximos beneficios diarios?**
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de armarios del modelo A producidos diariamente.
- $y$: número de armarios del modelo B producidos diariamente.
El objetivo es maximizar el beneficio diario total, que denotaremos como $B(x, y)$. Según la tabla de beneficios:
- Cada unidad de A reporta $70$ €.
- Cada unidad de B reporta $160$ €.
La **función objetivo** a maximizar es:
$$B(x, y) = 70x + 160y$$
💡 **Tip:** Identifica siempre qué te pide el problema (maximizar o minimizar) y qué variables representan las cantidades desconocidas.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas:
1. **Tiempo de ensamblado:** Disponemos de 12 carpinteros trabajando 8 horas cada uno. El tiempo total disponible es $12 \cdot 8 = 96$ horas diarias.
$$3x + 6y \le 96 \implies x + 2y \le 32$$
2. **Producción mínima:** Se deben producir al menos 15 unidades en total.
$$x + y \ge 15$$
3. **Relación entre modelos:** El número de armarios B ($y$) debe ser como máximo la mitad de los armarios A ($x$).
$$y \le \frac{x}{2} \implies 2y \le x \implies x - 2y \ge 0$$
4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como dividir entre 3 en la primera) facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.
Paso 3
Representación de la región factible
Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible:
- $r_1: x + 2y = 32$ (Pasa por $(32, 0)$ y $(0, 16)$)
- $r_2: x + y = 15$ (Pasa por $(15, 0)$ y $(0, 15)$)
- $r_3: x - 2y = 0$ (Pasa por $(0, 0)$ y $(20, 10)$)
La región factible es el polígono sombreado donde se cumplen todas las desigualdades simultáneamente.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región:
- **Vértice A:** Intersección de $r_2$ ($x+y=15$) con el eje $OX$ ($y=0$):
$$x+0=15 \implies A(15, 0)$$
- **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($x+2y=32$) con el eje $OX$ ($y=0$):
$$x+0=32 \implies B(32, 0)$$
- **Vértice C:** Intersección de $r_1$ ($x+2y=32$) y $r_3$ ($x=2y$):
$$2y + 2y = 32 \implies 4y = 32 \implies y=8; \, x=16 \implies C(16, 8)$$
- **Vértice D:** Intersección de $r_2$ ($x+y=15$) y $r_3$ ($x=2y$):
$$2y + y = 15 \implies 3y = 15 \implies y=5; \, x=10 \implies D(10, 5)$$
💡 **Tip:** Para hallar la intersección de dos rectas, resuelve el sistema de ecuaciones formado por ambas.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo
Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 70x + 160y$ en cada uno de los vértices hallados:
- En $A(15, 0)$: $B(15, 0) = 70(15) + 160(0) = 1050$ €.
- En $B(32, 0)$: $B(32, 0) = 70(32) + 160(0) = 2240$ €.
- En $C(16, 8)$: $B(16, 8) = 70(16) + 160(8) = 1120 + 1280 = 2400$ €.
- En $D(10, 5)$: $B(10, 5) = 70(10) + 160(5) = 700 + 800 = 1500$ €.
El valor máximo se alcanza en el punto $C(16, 8)$.
Paso 6
Solución final
Para obtener los máximos beneficios diarios, la empresa debe fabricar **16 armarios del modelo A y 8 armarios del modelo B**.
El beneficio máximo obtenido será de **2400 euros diarios**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{16 \text{ armarios A y } 8 \text{ armarios B}}$$