Estudio de una función racional: parámetros, asíntotas y discontinuidad

**A1. [1,75 PUNTOS] Dada la función $f(x) = \frac{3x^2}{x^2 + ax + b}$, determinar los valores de $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica posee un extremo relativo en el punto $(-3, \frac{9}{4})$.** El enunciado nos da dos condiciones sobre el punto $P(-3, 9/4)$: 1. El punto pertenece a la gráfica: $f(-3) = \frac{9}{4}$. 2. En dicho punto hay un extremo relativo: $f'(-3) = 0$. 💡 **Tip:** Un extremo relativo (máximo o mínimo) en una función derivable siempre implica que la primera derivada en ese punto es igual a cero.

Sustituimos $x = -3$ en la función e igualamos a $\frac{9}{4}$: $$f(-3) = \frac{3(-3)^2}{(-3)^2 + a(-3) + b} = \frac{27}{9 - 3a + b}$$ Igualamos a la ordenada del punto: $$\frac{27}{9 - 3a + b} = \frac{9}{4}$$ Dividimos ambos numeradores entre 9 para simplificar: $$\frac{3}{9 - 3a + b} = \frac{1}{4}$$ Multiplicamos en cruz: $$12 = 9 - 3a + b \implies -3a + b = 3 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Primero calculamos la derivada de $f(x) = \frac{3x^2}{x^2 + ax + b}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(6x)(x^2 + ax + b) - (3x^2)(2x + a)}{(x^2 + ax + b)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6x^3 + 6ax^2 + 6bx - 6x^3 - 3ax^2}{(x^2 + ax + b)^2} = \frac{3ax^2 + 6bx}{(x^2 + ax + b)^2}$$ Como hay un extremo en $x = -3$, entonces $f'(-3) = 0$. Solo necesitamos igualar el numerador a cero: $$3a(-3)^2 + 6b(-3) = 0 \implies 27a - 18b = 0$$ Dividiendo entre 9: $$3a - 2b = 0 \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a \quad \text{(Ecuación 2)}$$

Sustituimos la Ecuación 2 en la Ecuación 1: $$-3a + \left(\frac{3}{2}a\right) = 3$$ Multipicamos todo por 2: $$-6a + 3a = 6 \implies -3a = 6 \implies a = -2$$ Ahora calculamos $b$: $$b = \frac{3}{2}(-2) = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = -3}$$

**A2. [1 PUNTO] Para $a = -2$ y $b = -3$ determinar las asíntotas verticales de la función resultante $f(x) = \frac{3x^2}{x^2 - 2x - 3}$.** Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos que anulan el denominador y no anulan el numerador. Resolvamos $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Las raíces son **$x = 3$** y **$x = -1$**. Como el numerador $3x^2$ no se anula para estos valores ($3(3)^2=27$ y $3(-1)^2=3$), existen asíntotas verticales en ambas rectas. 💡 **Tip:** Para que sea asíntota vertical, el límite debe ser infinito. Si el numerador también fuera cero, tendríamos una indeterminación $0/0$ que podría dar un límite finito (discontinuidad evitable).

**Esbozar la posición de la gráfica respecto a dichas asíntotas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.** Analizamos **$x = -1$**: - $\lim_{x \to -1^-} \frac{3x^2}{(x-3)(x+1)} = \frac{3}{(-4)(0^-)} = \frac{3}{0^+} = +\infty$ - $\lim_{x \to -1^+} \frac{3x^2}{(x-3)(x+1)} = \frac{3}{(-4)(0^+)} = \frac{3}{0^-} = -\infty$ Analizamos **$x = 3$**: - $\lim_{x \to 3^-} \frac{3x^2}{(x-3)(x+1)} = \frac{27}{(0^-)(4)} = \frac{27}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 3^+} \frac{3x^2}{(x-3)(x+1)} = \frac{27}{(0^+)(4)} = \frac{27}{0^+} = +\infty$ ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{AV: x = -1, \quad x = 3}$$

**B. [0,75 PUNTOS] Sea ahora la función $f(x) = \frac{3x^2 - 3x - 6}{x^2 - 2x - 3}$. ¿En qué puntos es discontinua?** La función es racional, por lo que es discontinua en los valores de $x$ que anulan el denominador. Ya sabemos que el denominador $x^2 - 2x - 3$ se anula en **$x = -1$** y **$x = 3$**. Factorizamos numerador y denominador para analizar los límites: - Numerador: $3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x-2)(x+1)$ - Denominador: $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ $$f(x) = \frac{3(x-2)(x+1)}{(x-3)(x+1)}$$ 💡 **Tip:** Si un factor se repite en el numerador y denominador y se anula, estamos ante una discontinuidad evitable.

**¿Se puede definir de nuevo esta función para evitar alguna discontinuidad?** Estudiamos el límite en los puntos conflictivos: 1. En **$x = -1$**: $$\lim_{x \to -1} \frac{3(x-2)(x+1)}{(x-3)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{3(x-2)}{x-3} = \frac{3(-1-2)}{-1-3} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$$ Como el límite es finito, la discontinuidad en $x = -1$ es **evitable**. Podemos evitarla definiendo $f(-1) = \frac{9}{4}$. 2. En **$x = 3$**: $$\lim_{x \to 3} \frac{3(x-2)}{x-3} = \frac{3(1)}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, la discontinuidad en $x = 3$ es de tipo **inevitable de salto infinito**. No se puede evitar. ✅ **Respuesta final:** Es discontinua en **$x = -1$** (evitable) y **$x = 3$** (inevitable). Se puede evitar la de $x = -1$ redefiniendo: $$\boxed{f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2 - 3x - 6}{x^2 - 2x - 3} & \text{si } x \neq -1, 3 \\ \frac{9}{4} & \text{si } x = -1 \end{cases}}$$