Optimización de ingresos mediante programación lineal

En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular. Definimos las variables de decisión del problema: $x = \text{número de cajas del tipo A}$ $y = \text{número de cajas del tipo B}$ El objetivo es maximizar los ingresos totales obtenidos por la venta de estas cajas. La función de ingresos $I(x, y)$ se construye multiplicando el número de cajas de cada tipo por su precio de venta correspondiente: $$I(x, y) = 7,5x + 8,5y$$ 💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer máxima o mínima (en este caso, dinero ganado por ventas).

La frutería tiene cantidades limitadas de fruta, lo que genera restricciones en el número de cajas que puede producir. Organizamos los datos en una tabla para visualizarlo mejor: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Caja A } (x) & \text{Caja B } (y) & \text{Disponibilidad} \\ \hline \text{Manzanas} & 5 \text{ kg} & 5 \text{ kg} & 50 \text{ kg} \\ \hline \text{Naranjas} & 2 \text{ kg} & 3 \text{ kg} & 27 \text{ kg} \\ \hline \end{array}$$ Traducimos esto a desigualdades matemáticas: 1. **Restricción de manzanas:** $5x + 5y \le 50$, que simplificando (dividiendo entre 5) queda como **$x + y \le 10$**. 2. **Restricción de naranjas:** **$2x + 3y \le 27$**. 3. **No negatividad:** Como no se pueden vender cajas negativas, **$x \ge 0$** e **$y \ge 0$**. 💡 **Tip:** No olvides nunca las restricciones de no negatividad ($x, y \ge 0$), ya que definen que trabajaremos en el primer cuadrante del plano.

Para hallar la solución, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones y determinamos la región del plano que cumple todas las desigualdades simultáneamente (región factible). - Recta 1 ($x + y = 10$): Pasa por $(0, 10)$ y $(10, 0)$. - Recta 2 ($2x + 3y = 27$): Si $x=0, y=9 \to (0, 9)$. Si $y=0, x=13.5 \to (13.5, 0)$. La región factible es el polígono delimitado por estas rectas en el primer cuadrante.

Los puntos candidatos a ser el máximo están en los vértices de la región factible: 1. **Origen:** $O(0, 0)$. 2. **Eje Y:** Intersección de $x=0$ con $2x + 3y = 27 \implies 3y = 27 \implies y = 9$. Punto **$A(0, 9)$**. 3. **Eje X:** Intersección de $y=0$ con $x + y = 10 \implies x = 10$. Punto **$B(10, 0)$**. 4. **Intersección de ambas rectas:** $$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 3y = 27 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $x = 10 - y$. Sustituimos en la segunda: $$2(10 - y) + 3y = 27$$ $$20 - 2y + 3y = 27 \implies y = 7$$ Sustituyendo el valor de $y$: $$x = 10 - 7 = 3$$ Punto **$C(3, 7)$**. 💡 **Tip:** El punto de corte entre dos rectas se halla siempre resolviendo el sistema de ecuaciones lineales por el método que prefieras (sustitución, igualación o reducción).

Calculamos el ingreso $I(x, y) = 7,5x + 8,5y$ en cada uno de los vértices hallados: $$\begin{array}{c|c} \text{Vértice } (x, y) & I(x, y) = 7,5x + 8,5y \\ \hline O(0, 0) & 7,5(0) + 8,5(0) = 0 \text{ €} \\ A(0, 9) & 7,5(0) + 8,5(9) = 76,5 \text{ €} \\ B(10, 0) & 7,5(10) + 8,5(0) = 75 \text{ €} \\ C(3, 7) & 7,5(3) + 8,5(7) = 22,5 + 59,5 = 82 \text{ €} \end{array}$$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(3, 7)$. Para maximizar sus ingresos, la frutería debe vender **3 cajas del tipo A y 7 cajas del tipo B**. Los ingresos máximos serán de **82 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 3 \text{ cajas de tipo A, } y = 7 \text{ cajas de tipo B}}$$