Estudio de una función polinómica y cálculo de áreas

**A. [0,1 PUNTOS] Obtener los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte de la función $f(x) = x^3 + x^2 - 2x$ procedemos así: 1. **Corte con el eje OY (ordenada en el origen):** Hacemos $x=0$. $$f(0) = 0^3 + 0^2 - 2(0) = 0$$ El punto de corte es **$(0, 0)$**. 2. **Corte con el eje OX (abscisas):** Hacemos $f(x)=0$. $$x^3 + x^2 - 2x = 0 \implies x(x^2 + x - 2) = 0$$ Esto nos da la primera solución $x=0$. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. 💡 **Tip:** Para hallar los cortes con el eje OX, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación resultante. Si es un polinomio, intenta factorizar primero sacando factor común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Eje OY: } (0,0); \quad \text{Eje OX: } (0,0), (1,0) \text{ y } (-2,0)}$$

**B. [0,6 PUNTOS] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Primero calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 + 2x - 2$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero ($f'(x)=0$): $$3x^2 + 2x - 2 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$$ Los valores aproximados son $x_1 \approx -1.22$ y $x_2 \approx 0.55$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, \frac{-1-\sqrt{7}}{3}) & \frac{-1-\sqrt{7}}{3} & (\frac{-1-\sqrt{7}}{3}, \frac{-1+\sqrt{7}}{3}) & \frac{-1+\sqrt{7}}{3} & (\frac{-1+\sqrt{7}}{3}, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(a)=0$ y $f'(x)$ pasa de $+$ a $-$, hay un máximo relativo. Si pasa de $-$ a $+$, hay un mínimo relativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, \frac{-1-\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{-1+\sqrt{7}}{3}, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (\frac{-1-\sqrt{7}}{3}, \frac{-1+\sqrt{7}}{3}) \\ &\text{Máximo relativo en } x = \frac{-1-\sqrt{7}}{3} \\ &\text{Mínimo relativo en } x = \frac{-1+\sqrt{7}}{3} \end{aligned}}$$

**C. [0,6 PUNTOS] Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6x + 2$$ Igualamos a cero para hallar posibles puntos de inflexión: $$6x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1/3) & -1/3 & (-1/3, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \cap (\text{Cóncava}) & \text{P. Inflexión} & \cup (\text{Convexa}) \end{array}$$ Para hallar el punto de inflexión completo, calculamos $f(-1/3)$: $$f(-1/3) = (-1/3)^3 + (-1/3)^2 - 2(-1/3) = -\frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{-1+3+18}{27} = \frac{20}{27}$$ 💡 **Tip:** En la mayoría de comunidades, se llama cóncava si $f'' \lt 0$ (forma $\cap$) y convexa si $f'' \gt 0$ (forma $\cup$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Cóncava: } (-\infty, -1/3) \\ &\text{Convexa: } (-1/3, +\infty) \\ &\text{Punto de Inflexión: } (-1/3, 20/27) \end{aligned}}$$

**D. [0,5 PUNTOS] Dibujar la región delimitada por la curva anterior y la recta $y = 4x$.** Antes de dibujar, necesitamos saber dónde se cortan $f(x) = x^3 + x^2 - 2x$ y $g(x) = 4x$: $$x^3 + x^2 - 2x = 4x \implies x^3 + x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos: $$x(x^2 + x - 6) = 0 \implies x(x+3)(x-2) = 0$$ Las abscisas de corte son **$x = -3, x = 0, x = 2$**. Los puntos de corte son $(-3, -12), (0, 0)$ y $(2, 8)$. Con esta información y el estudio previo, representamos la región.

**E. [1,7 PUNTOS] Calcular el área de la región anterior.** El área se divide en dos recintos debido a los puntos de corte $x=-3, x=0, x=2$: 1. **Recinto 1 ($x \in [-3, 0]$):** Aquí $f(x) \ge g(x)$. $$A_1 = \int_{-3}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 4x) \, dx = \int_{-3}^{0} (x^3 + x^2 - 6x) \, dx$$ $$A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{-3}^{0} = 0 - \left( \frac{(-3)^4}{4} + \frac{(-3)^3}{3} - 3(-3)^2 \right)$$ $$A_1 = - \left( \frac{81}{4} - 9 - 27 \right) = - \left( \frac{81 - 144}{4} \right) = \frac{63}{4} \text{ u}^2$$ 2. **Recinto 2 ($x \in [0, 2]$):** Aquí $g(x) \ge f(x)$. $$A_2 = \int_{0}^{2} (4x - (x^3 + x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{2} (-x^3 - x^2 + 6x) \, dx$$ $$A_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{16}{4} - \frac{8}{3} + 12 \right) - 0$$ $$A_2 = -4 - \frac{8}{3} + 12 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos curvas, restamos la función que está por encima menos la que está por debajo en cada intervalo. El área total es la suma de ambas: $$A_{total} = \frac{63}{4} + \frac{16}{3} = \frac{189 + 64}{12} = \frac{253}{12} \approx 21.08 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{253}{12} \text{ unidades cuadradas}}$$