Probabilidades de acierto en tiro con arco

**A. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en el blanco uno solo?** Primero, definimos los sucesos de que cada tirador acierte en la diana y sus probabilidades: - $T_1$: El primer tirador acierta. $P(T_1) = \dfrac{3}{5}$. Por tanto, $P(\bar{T_1}) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$. - $T_2$: El segundo tirador acierta. $P(T_2) = \dfrac{2}{3}$. Por tanto, $P(\bar{T_2}) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$. - $T_3$: El tercer tirador acierta. $P(T_3) = \dfrac{5}{6}$. Por tanto, $P(\bar{T_3}) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$. Como los disparos son simultáneos e independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. El suceso "acierta uno solo" ocurre en tres casos posibles (acierta el primero, o el segundo, o el tercero, mientras los otros fallan): 1. $T_1 \cap \bar{T_2} \cap \bar{T_3} \implies P = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{90}$ 2. $\bar{T_1} \cap T_2 \cap \bar{T_3} \implies P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{90}$ 3. $\bar{T_1} \cap \bar{T_2} \cap T_3 \implies P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{90}$ Sumamos las tres probabilidades: $$P(\text{Acierta solo uno}) = \frac{3}{90} + \frac{4}{90} + \frac{10}{90} = \frac{17}{90}$$ 💡 **Tip:** Cuando los sucesos son independientes, se cumple que $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{acierte uno solo}) = \frac{17}{90} \approx 0.1889}$$

**B. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que los tres acierten?** Este caso corresponde a la intersección de que los tres tiradores acierten simultáneamente ($T_1 \cap T_2 \cap T_3$). Dado que los sucesos son independientes: $$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3) = P(T_1) \cdot P(T_2) \cdot P(T_3)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}$$ Multiplicamos los numeradores y los denominadores: $$P(\text{los tres acierten}) = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5}{5 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{30}{90}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 30: $$P(\text{los tres acierten}) = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Fíjate que en la multiplicación $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}$ puedes simplificar directamente el 3 y el 5 del numerador con el 3 y el 5 del denominador, quedando $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{los tres acierten}) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$

**C. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos uno de ellos?** El suceso "acierte al menos uno" es el suceso contrario de "que no acierte ninguno". Es mucho más rápido calcularlo así que sumar todas las combinaciones posibles (uno, dos o tres aciertos). 1. Calculamos primero la probabilidad de que **ninguno** acierte: $$P(\text{ninguno acierta}) = P(\bar{T_1} \cap \bar{T_2} \cap \bar{T_3})$$ $$P(\bar{T_1} \cap \bar{T_2} \cap \bar{T_3}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$$ 2. Usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno acierta})$$ $$P(\text{al menos uno}) = 1 - \frac{1}{45} = \frac{45}{45} - \frac{1}{45} = \frac{44}{45}$$ 💡 **Tip:** Siempre que leas "al menos uno", piensa en usar la fórmula $P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$, ya que ahorra mucho tiempo de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos uno}) = \frac{44}{45} \approx 0.9778}$$