Álgebra 2017 Cantabria
Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro y matriz inversa
OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2
Ejercicio 1 [3,5 PUNTOS]
A. [3 PUNTOS] Una empresa elabora dos modelos de un determinado producto. Un empleado necesita dos minutos para cada unidad del primer modelo y cuatro para cada unidad del segundo. Los costes unitarios de producción de cada modelo son de 4 y 6 euros respectivamente. Por otro lado, el número de unidades del primer modelo debe ser diariamente el doble que el número de unidades del segundo modelo. El sistema de ecuaciones lineales para calcular el número de unidades de cada modelo que puede acabar un empleado en una jornada de 8 horas si se invierten $k$ euros diarios de presupuesto, es el siguiente:
$$\begin{cases} 2x + 4y = 480 \\ 4x + 6y = k \\ x - 2y = 0 \end{cases}$$
Determinar, según el presupuesto disponible (según los valores del parámetro $k$), los casos en los que el siguiente sistema tiene o no tiene solución. Resuelve los casos en los que el sistema tenga solución.
B. [0,5 PUNTOS] Dada la siguiente matriz:
$$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 480 \\ 4 & 6 & 840 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
¿Tiene inversa? Justifica la respuesta basándote únicamente en los resultados obtenidos en el apartado anterior.
Paso 1
Identificación de matrices y Teorema de Rouché-Frobenius
**A. [3 PUNTOS] Una empresa elabora dos modelos de un determinado producto... Determinar, según el presupuesto disponible (según los valores del parámetro $k$), los casos en los que el siguiente sistema tiene o no tiene solución. Resuelve los casos en los que el sistema tenga solución.**
Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \quad ; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 480 \\ 4 & 6 & k \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
El sistema tiene 2 incógnitas ($x$ e $y$). Analizamos el rango de $A$ buscando el menor de mayor orden distinto de cero:
$$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 16 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$
💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Como $A$ es de dimensión $3 \times 2$, su rango máximo es 2.
Paso 2
Cálculo del determinante de la matriz ampliada
Para que el sistema tenga solución, el rango de la matriz ampliada $A^*$ debe ser igual al rango de $A$, es decir, $\text{rg}(A^*) = 2$. Calculamos el determinante de $A^*$ utilizando la regla de Sarrus:
$$|A^*| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 480 \\ 4 & 6 & k \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$
$$|A^*| = [2 \cdot 6 \cdot 0 + 4 \cdot k \cdot 1 + 480 \cdot 4 \cdot (-2)] - [1 \cdot 6 \cdot 480 + (-2) \cdot k \cdot 2 + 0 \cdot 4 \cdot 4]$$
$$|A^*| = [0 + 4k - 3840] - [2880 - 4k + 0]$$
$$|A^*| = 4k - 3840 - 2880 + 4k = 8k - 6720$$
Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor crítico de $k$:
$$8k - 6720 = 0 \implies 8k = 6720 \implies k = \frac{6720}{8} = 840$$
Paso 3
Discusión del sistema según los valores de k
Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius comparando $\text{rg}(A)$ y $\text{rg}(A^*)$:
- **Caso 1: $k \neq 840$**
Si $k \neq 840$, el determinante $|A^*| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2$, entonces $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$. El sistema es **Incompatible (no tiene solución)**.
- **Caso 2: $k = 840$**
Si $k = 840$, el determinante $|A^*| = 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = 2 = \text{nº de incógnitas}$, el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**.
✅ **Resultado (Discusión):**
$$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k = 840: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } k \neq 840: \text{Sistema Incompatible} \end{cases}}$$
Paso 4
Resolución del sistema para k = 840
Para $k = 840$, resolvemos el sistema. Como el rango es 2, podemos usar dos de las tres ecuaciones. Elegimos la 1ª y la 3ª por ser más sencillas:
$$\begin{cases} 2x + 4y = 480 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$$
De la segunda ecuación despejamos $x$:
$$x = 2y$$
Sustituimos en la primera:
$$2(2y) + 4y = 480 \implies 4y + 4y = 480 \implies 8y = 480 \implies y = 60$$
Calculamos $x$:
$$x = 2(60) = 120$$
💡 **Tip:** Siempre es bueno comprobar la solución en la ecuación que no hemos usado: $4(120) + 6(60) = 480 + 360 = 840$. ¡Es correcto!
✅ **Resultado (Solución):**
$$\boxed{x = 120, \quad y = 60}$$
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{"id": "eq1", "latex": "2x + 4y = 480", "color": "#2563eb"},
{"id": "eq2", "latex": "4x + 6y = 840", "color": "#16a34a"},
{"id": "eq3", "latex": "x - 2y = 0", "color": "#ef4444"},
{"id": "p1", "latex": "(120, 60)", "showLabel": true, "label": "Solución"}
],
"bounds": {"left": 0, "right": 250, "bottom": 0, "top": 150}
}
}
Paso 5
Justificación de la existencia de la matriz inversa
**B. [0,5 PUNTOS] Dada la siguiente matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 480 \\ 4 & 6 & 840 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$, ¿tiene inversa? Justifica la respuesta basándote únicamente en los resultados obtenidos en el apartado anterior.**
Observamos que la matriz $M$ coincide exactamente con la matriz ampliada $A^*$ del apartado anterior cuando el parámetro $k$ toma el valor $840$.
En el apartado anterior, hemos calculado que el determinante de $A^*$ es $|A^*| = 8k - 6720$. Para el caso particular $k=840$, obtuvimos:
$$|M| = |A^*|_{k=840} = 8(840) - 6720 = 6720 - 6720 = 0$$
Una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante sea **distinto de cero** ($|M| \neq 0$).
Como en este caso el determinante es **cero**, concluimos que la matriz **no tiene inversa**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No tiene inversa porque su determinante es 0.}}$$