Optimización de beneficios y continuidad con parámetros

**A. [1,75 PUNTOS] Durante el anterior periodo de rebajas, una tienda ofreció un artículo a 50 euros la unidad y las ventas fueron de 20 unidades. Un estudio revela que por cada euro que disminuya el precio en las próximas rebajas, conseguirá vender 4 unidades más. Por otro lado, la tienda ha asumido un coste de 35 euros por cada unidad del producto. ¿Qué precio de venta por unidad debe fijar para maximizar los beneficios obtenidos durante el nuevo periodo de rebajas?** Primero, definimos la variable principal del problema. Sea $x$ el número de euros que disminuye el precio unitario. - **Precio de venta ($P$):** Originalmente era $50$, por lo que el nuevo precio será $P(x) = 50 - x$. - **Número de unidades vendidas ($Q$):** Originalmente eran $20$. Por cada euro de rebaja ($x$), se venden $4$ más: $Q(x) = 20 + 4x$. - **Coste por unidad ($C$):** Es fijo, $35$ euros. El beneficio por unidad vendida es $(P - C)$. El beneficio total $B(x)$ es el beneficio unitario multiplicado por el número de unidades vendidas: $$B(x) = (P(x) - 35) \cdot Q(x)$$ $$B(x) = (50 - x - 35)(20 + 4x)$$ $$B(x) = (15 - x)(20 + 4x)$$ Operamos para obtener la expresión polinómica: $$B(x) = 300 + 60x - 20x - 4x^2 = -4x^2 + 40x + 300$$

Para maximizar el beneficio, derivamos la función $B(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -8x + 40$$ $$-8x + 40 = 0 \implies 8x = 40 \implies x = 5$$ Comprobamos que es un máximo utilizando la segunda derivada: $$B''(x) = -8$$ Como $B''(5) = -8 \lt 0$, se confirma que en $x = 5$ hay un **máximo relativo**. El enunciado nos pide el **precio de venta por unidad**. Sustituimos $x = 5$ en la expresión del precio: $$P(5) = 50 - 5 = 45 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio es la diferencia entre ingresos (precio por cantidad) y costes totales (coste unitario por cantidad). También puedes simplificarlo como (precio - coste unitario) por cantidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Precio de venta} = 45 \text{ €}}$$

**B. [1,75 PUNTOS] Dada la función $f(x)$ determinar los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales es continua en $x = -1$ y $x = 7$.** Para que la función sea continua en $x = -1$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales: 1. **Valor de la función:** $f(-1) = a(-1)^2 + 5(-1) - 2 = a - 5 - 2 = a - 7$ 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to -1^-} (ax^2 + 5x - 2) = a - 7$ 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to -1^+} \frac{x + 3}{x^2 + 5} = \frac{-1 + 3}{(-1)^2 + 5} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Igualamos los resultados: $$a - 7 = \frac{1}{3} \implies a = 7 + \frac{1}{3} = \frac{21+1}{3} = \frac{22}{3}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = \frac{22}{3}}$$

Para que sea continua en $x = 7$, repetimos el proceso: 1. **Valor de la función:** $f(7) = \frac{7 + 3}{7^2 + 5} = \frac{10}{49 + 5} = \frac{10}{54} = \frac{5}{27}$ 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 7^-} \frac{x + 3}{x^2 + 5} = \frac{5}{27}$ 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 7^+} \frac{bx + 1}{(x - 5)^2} = \frac{b(7) + 1}{(7 - 5)^2} = \frac{7b + 1}{2^2} = \frac{7b + 1}{4}$ Igualamos para asegurar la continuidad: $$\frac{7b + 1}{4} = \frac{5}{27}$$ $$27(7b + 1) = 4 \cdot 5$$ $$189b + 27 = 20$$ $$189b = 20 - 27$$ $$189b = -7 \implies b = -\frac{7}{189}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $7$ ($189 = 7 \cdot 27$): $$b = -\frac{1}{27}$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto de salto si los límites laterales por la izquierda y por la derecha son finitos e iguales al valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{22}{3}, \quad b = -\frac{1}{27}}$$