Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,5 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 97 % para el sueldo medio mensual.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el sueldo mensual: - Distribución: Normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 310$ - Tamaño de la muestra: $n = 1200$ - Media muestral: $\bar{x} = 1545$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$. Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para encerrar el área (probabilidad) deseada.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \frac{310}{\sqrt{1200}} = 2.17 \cdot \frac{310}{34.641} \approx 2.17 \cdot 8.9489 = 19.419$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (1545 - 19.419, 1545 + 19.419)$$ $$IC = (1525.581, 1564.419)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (1525.58, 1564.42)}$$

**B. [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98 % sea la mitad del obtenido en el apartado anterior?** En este apartado cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$. - El nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ se obtiene buscando la probabilidad $1 - \alpha/2 = 1 - 0.01 = 0.99$. $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99 \implies z_{\alpha/2} \approx 2.33$$ - El nuevo error debe ser la mitad del anterior: $$E_{nuevo} = \frac{E_{anterior}}{2} = \frac{19.41917...}{2} \approx 9.7096$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, el valor crítico $z$ aumenta, lo que requiere una muestra mayor para mantener un error pequeño.

Para hallar el tamaño de la muestra ($n$), despejamos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los nuevos valores: $$n = \left( \frac{2.33 \cdot 310}{9.7096} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{722.3}{9.7096} \right)^2 \approx (74.3899)^2 \approx 5533.86$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** el indicado, debemos **redondear siempre al alza** al siguiente número entero. $n = 5534$ ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 5534 \text{ personas}}$$