Sistema de ecuaciones lineales: rebajas de ropa

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es asignar una variable a cada una de las incógnitas que nos pide el enunciado: - $x$: Precio en temporada del **pantalón** (en euros). - $y$: Precio en temporada de la **camisa** (en euros). - $z$: Precio en temporada del **abrigo** (en euros). 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante para no confundir los datos durante la resolución.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico paso a paso: 1. **"Un pantalón, una camisa y un abrigo valían en temporada 360 euros en total"**: $$x + y + z = 360$$ 2. **"En las primeras rebajas, el pantalón se rebajó un 10% y la camisa un 20%, con lo que un cliente podía llevarse ambas prendas por 137 euros"**: - Si el pantalón se rebaja un $10\%$, el cliente paga el $90\%$ de su valor: $0.90x$. - Si la camisa se rebaja un $20\%$, el cliente paga el $80\%$ de su valor: $0.80y$. $$0.9x + 0.8y = 137$$ 3. **"En las segundas rebajas, y sobre el precio de temporada, el pantalón se rebajó un 20% y el abrigo un 30%, por lo que juntos costaban 212 euros"**: - Rebaja del $20\%$ en pantalón: paga el $80\%$ ($0.80x$). - Rebaja del $30\%$ en abrigo: paga el $70\%$ ($0.70z$). $$0.8x + 0.7z = 212$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 360 \\ 0.9x + 0.8y = 137 \\ 0.8x + 0.7z = 212 \end{cases}$$

Para trabajar con números enteros y facilitar los cálculos, multiplicamos la segunda y la tercera ecuación por 10: 1. $x + y + z = 360$ 2. $9x + 8y = 1370$ 3. $8x + 7z = 2120$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas decimales en un sistema, puedes eliminarlos multiplicando toda la fila por 10, 100, etc.

Despejamos $z$ de la primera ecuación para sustituirla en la tercera: $$z = 360 - x - y$$ Sustituimos $z$ en la tercera ecuación ($8x + 7z = 2120$): $$8x + 7(360 - x - y) = 2120$$ $$8x + 2520 - 7x - 7y = 2120$$ $$x - 7y = 2120 - 2520$$ $$x - 7y = -400 \implies x = 7y - 400$$ Ahora sustituimos esta expresión de $x$ en la segunda ecuación ($9x + 8y = 1370$): $$9(7y - 400) + 8y = 1370$$ $$63y - 3600 + 8y = 1370$$ $$71y = 1370 + 3600$$ $$71y = 4970$$ $$y = \frac{4970}{71} = 70$$

Una vez hallado el valor de la camisa ($y = 70$), calculamos el resto: Para el **pantalón** ($x$): $$x = 7(70) - 400 = 490 - 400 = 90$$ Para el **abrigo** ($z$): $$z = 360 - 90 - 70 = 200$$ **Comprobación:** - $90 + 70 + 200 = 360$ (Correcto). - $0.9(90) + 0.8(70) = 81 + 56 = 137$ (Correcto). - $0.8(90) + 0.7(200) = 72 + 140 = 212$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Pantalón: } 90€, \text{ Camisa: } 70€, \text{ Abrigo: } 200€}$$