Continuidad de una función a trozos y cálculo de área

**a) Estudia razonadamente su continuidad.** Para estudiar la continuidad de la función, analizamos primero cada una de las ramas en sus intervalos abiertos: 1. **Rama 1 ($0 \lt x \lt 2$):** La función es $f(x) = \dfrac{1}{4-x^2}$. Es una función racional. Su dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador: $$4-x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$$ Como los puntos $x = -2$ y $x = 2$ no están dentro del intervalo abierto $(0, 2)$, la función es **continua** en todo este tramo. 2. **Rama 2 ($2 \lt x \lt 4$):** La función es $f(x) = 2x$. Es una función polinómica de primer grado, por lo que es **continua** en todo su dominio, incluyendo el intervalo $(2, 4)$. 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas son continuas en todo $\mathbb{R}$, y las racionales lo son en todo su dominio (donde el denominador no se anula).

Analizamos ahora qué ocurre en el punto de unión de las ramas, $x = 2$. Para que sea continua en este punto, los límites laterales y el valor de la función deben coincidir. 1. **Valor de la función:** $$f(2) = 2(2) = 4.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{4-(2^-)^2} = \frac{1}{4-4^-} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 2^+} 2x = 2(2) = 4.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x=a$ se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. Si el límite es infinito, existe una asíntota vertical.

Como el límite por la izquierda es $+\infty$, la función presenta una **discontinuidad de salto infinito** en $x = 2$. Además, existe una asíntota vertical en $x = 2$ por la izquierda. En resumen: - La función es **continua** en $(0, 2) \cup (2, 4)$. - La función tiene una **discontinuidad esencial de salto infinito** en $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Continua en } (0,2) \cup (2,4) \text{. Discontinuidad de salto infinito en } x=2}$$

**b) Calcula el área limitada por la función $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[2,3]$.** En el intervalo $[2, 3]$, la función viene definida por la segunda rama: $f(x) = 2x$. Como $f(x) = 2x$ es mayor o igual que cero en el intervalo $[2, 3]$, el área coincide directamente con la integral definida: $$A = \int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} 2x \, dx.$$ 💡 **Tip:** El área entre una función $f(x)$ y el eje OX en un intervalo $[a,b]$ es $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$. Si la función es siempre positiva en ese tramo, podemos omitir el valor absoluto.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int 2x \, dx = x^2.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites de integración $x=2$ y $x=3$: $$A = \left[ x^2 \right]_{2}^{3} = (3)^2 - (2)^2 = 9 - 4 = 5.$$ El área es de 5 unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 5 \text{ u}^2}$$